Bir
ABC üçgeni ile bir
l doğrusu veriliyor.
A, B, C nin
l üzerindeki izdüşümleri sırasıyla
A', B', C' olsun.
A', B', C' ün sırasıyla
BC, AC, AB doğruları üzerindeki izdüşümleri sırasıyla
A'', B'', C'' olsun.
A'A'', B'B'', C'C'' doğruları ortak bir
P noktasına sahiptir. Bu
P noktasına,
l doğrusu ile
ABC üçgeninin
ortopolü denir. (Türkçesini bilmiyorum; ama belki Orthopole = Diklik kutbu şeklinde çevirilebilir.)
İspat:
Lemma:
Bir ABCD kirişler dörtgeninde köşegenlerin kesişim noktası E olsun.
DE/EB=(AD.CD)/(AB.BC) dir.
İspat:
[ADC]/[ABC]=(AD.CD)/(AB.BC)
[ADC]/[ABC]=DE/EB
=> DE/EB=(AD.CD)/(AB.BC) dir.
A'A'' ile B'B'' doğruları P noktasında kesişssin. AB doğrusunun PC' doğru doğrusuna dik olduğunu göstereceğiz.
AA' ile CA'' doğruları Q da kesişsin. AB doğrusu, (AQC) çemberini ikinci kez R de kessin.
Yukarıdaki lemma gereği; QB/BC = (AQ.QR)/(AC.CR) dir.
[1]QA'//BB'//CC' olduğu için QB/BC=A'B'/B'C' olacağından,
A'B'/B'C' = (AQ.QR)/(AC.CR) dir.
[2]P,A'',B'',C noktaları çembersel olduğu için m(B''PA'') = m(A''CA);
m(AQB)=m(QA''A') ve m(PA'Q)=m(A'A''Q) + m(A''QA') olduğundan, m(AQB)=m(B'A'P) dir.
Bu durumda (A.A) dan PB'A' ~ CAQ olur.
Benzerlik oranlarını yazarsak;
AQ/A'B' = AC/B'P elde ederiz.
[3][2] ile [3] ü taraf tarafa çarparsak;
AQ/B'C' = (AQ.QR.AC)/(AC.CR.B'P) => B'P/B'C' = QR/RC elde edilir.
[4]Basit açı hesaplarıyla, m(QRC) = 180-m(QAC) = 180-m(A'B'P) = m(PB'C') elde edilir. Bu durumda B'PC' ~ RQC (K.A.K) dır.
Açı eşitliklerini yazarsak, m(B'PC') = m(CQR) = m(CAR) olduğu için AR doğrusu PC' doğrusuna diktir. Bu durumda, C' noktasının AB üzerindeki izdüşümü C'P üzerindedir. ■
