Üçgenden -> Altıgene

[ERhan ERdoğan]

Bir ABC üçgeninde her kenar, kendi uçlarının her iki tarafından kendileri kadar uzatılıyor ;
böylece elde edilen altı nokta ile bir dışbükey altıgen elde ediliyor.

a) Altıgenin çevresini, ABC üçgeninin çevresi cinsinden hesaplayınız.

b) Altıgenin alanını, ABC üçgeninin alanı cinsinden hesaplayınız.

c) Altıgenin köşelerini birer atlayarak birleştirmekle elde edilen üçgenin alanını, ABC üçgeninin alanı cinsinden hesaplayınız.

d) Altıgenin köşelerini birer atlayarak birleştirmekle elde edilen üçgen ile ABC üçgeninin ağırlık merkezlerinin aynı olduğunu gösteriniz.

[geo]

Oluşan altıgene şekildeki gibi A'A''B'B''C'C'' diyelim.
a) Eşliklerden, benzerliklerden Çevre = 3Ç(ABC).

b) [A'A''CB] = 3[ABC] olduğu için [A'A''B'B''C'C''] = (3+3+3+1+1+1+1)[ABC]=13[ABC]

c)Klasik bir soru (bkz. Routh's theorem)
[ABC] = [A'BC] =  [A'B'C] olduğu için [A'B'C'] = 7[ABC]

d) Üçgenin köşelerinin koordinatları
A(x_A, y_A), B(x_B, y_B), C(x_C, y_C) olsun.
A'( 2x_B - x_A,  2y_B - y_A ), B'(2x_C - x_B,  2y_C - y_B), C'(2x_A - x_C,  2y_A - y_C)
G( (x_A+ x_B + x_C)/3, (y_A+ y_B + y_C)/3)
G'( ( 2x_B - x_A + 2x_C - x_B + 2x_A - x_C )/3,  ( 2y_B - y_A + 2y_C - y_B + 2y_A - y_C )/3  ) = G'( (x_A+ x_B + x_C)/3, (y_A+ y_B + y_C)/3)