Altıgenin Alanı

[geo]

İki tane alan sorusu, ikincisi nispeten daha zor.

[ERhan ERdoğan]

Verilen şekillerde $B,F,D$ köşelerini birleştirdiğimizde oluşan dört üçgenin alanlarını hesaplayacağız.

$1.$ şekilde $A(ABCDEF) = A(ABF)+A(BCD)+A(DEF)+A(BFD)= \dfrac{5.12}{2}+\dfrac{5.12}{2}+\dfrac{6.8}{2}+\dfrac{10.12}{2}=144$

$2.$ şekilde $A(ABCDEF) = A(ABF)+A(BCD)+A(DEF)+A(BFD)= \dfrac{6.8}{2}+\dfrac{8.9}{2}+\dfrac{6.9}{2}+A(BFD)=87+A(BFD)$

$BFD$ üçgeni kenar uzunlukları $10,\sqrt{145} , \sqrt{117}$ olan bir üçgendir. Bu üçgenin alanını üç kenarı bilinen üçgen alanı yani heron formülünden bulabiliriz, fakat sayıların işimizi zorlaştıracağı açıktır. Bu alanı hesaplamak için alanları daha rahat hesaplanabilen şekillerden faydalanacağız. Aşağıdaki şekilde bu kenar uzunluklarına sahip bir üçgenin bir dikdörtgenin içerisinde oluşturulabileceğini görüyoruz. O halde aradığımız alanı dikdörtgenin alanından dik üçgenlerin alanlarını çıkartarak bulabiliriz.

$A(BFD)=12.9-(\dfrac{12}{2}+\dfrac{6.8}{2}+\dfrac{6.9}{2})=51$ .Buna göre $A(ABCDEF)=87+51=138$ dir.

[geo]

İkinci şekil için

Çözüm 1:

$BD^2-DF^2 = (9^2+8^2)-(9^2+6^2)=8^2-6^2=AB^2-AF^2$ olduğu için $AD \perp BF$ olacaktır. $AD \cap BF =\{G\}$ olsun.
$AG=4,8$, $GF=3,6$, $BG=6,4$ ve $\triangle DGF$ de Pisagordan $DG=10,2$ dir. Bu durumda $AD=15$.
$[ABCDEF] = [ABDF] + [BCD] + [DEF] = \dfrac{15 \cdot10}2 +  \dfrac{6 \cdot 9}2 + \dfrac{9 \cdot 8}2 = 138$

Çözüm 2:

$E$ noktasının $DF$ nin orta noktasına göre simetriği $E'$ olsun. $E'F = 9$ ve $DE'=6$.
$BD^2-DF^2 = AB^2-AF^2$, $BF^2-BD^2=E'F^2 - E'D^2$, $DF^2-BF^2 = CD^2-CB^2$ olduğu için $BE'$, $DA$, $FC$ doğruları $\triangle BDF$ üçgeninin yükseklikleridir.
Bu aşamadan sonra soru buradaki soruya dönüşüyor.
$\triangle BDF$ nin diklik merkezi $H$ olsun.
$[BHF] \cdot [BDF] = [ABF]^2$, $[BHD] \cdot [BDF] = [BCD]^2$, $[DHF] \cdot [BDF] = [DE'F]^2$.
$\Rightarrow [BDF]^2 = [ABF]^2 + [BCD]^2+[DE'F]^2$
$\Rightarrow [ABCDE'F] = [ABF] + [BCD]+[DE'F] + \sqrt{[ABF]^2 + [BCD]^2+[DE'F]^2}$
$\Rightarrow [ABCDEF] = 24+36+27 + \sqrt{24^2+36^2+27^2} = 87 + \sqrt{24^2 + 45^2} = 87 + \sqrt{(3\cdot 17)^2} = 87 + 51 = 138$.