Bir üçgenin köşelerinden geçen doğruların noktadaşlığı problemleri için çokça kullanılan Ceva teoreminiden faydalanarak bir çözüm verelim.
Bir $ABC$ üçgeninin $A, B, C$ köşeleri düzlemdeki herhangi bir $P$ noktası ile birleştiriliyor. $AP,
BP$ ve $CP$ doğrularının $BC, CA$ ve $AB$ doğrularını kestiği noktalar sırasıyla $X, Y$ ve $Z$ ise
Teoerem [Ceva]. $$ \dfrac{|XB|}{|XC|}\cdot \dfrac{|YC|}{|YA|}\cdot \dfrac{|ZA|}{|ZB|} = 1 $$ bağıntısı geçerlidir.
[Ceva Teoreminin Trigonometrik Hali]. $$\dfrac{\sin\angle{CAX}}{\sin\angle{BAX}}\cdot \dfrac{\sin\angle{ABY}}{\sin\angle{CBY}}\cdot \dfrac{\sin\angle{BCZ}}{\sin\angle{ACZ}} = 1 $$ bağıntısı geçerlidir.
[Ceva Teoreminin Karşıtı]. Bir $ABC$ üçgeninde $BC, CA$ ve $AB$ doğruları üzerinde,
$$ \dfrac{|BX|}{|XC|}\cdot \dfrac{|CY|}{|YA|}\cdot \dfrac{|AZ|}{|ZB|} = 1 $$ bağıntısını sağlamak üzere sırasıyla $X, Y$ ve $Z$ noktaları alınırsa, $AX, BY, CZ$ doğruları aynı bir noktadan geçerler.
[Lemma]. $AB$ ve $PQ$ doğruları bir $M$ noktasında kesişsinler. Buna göre
$$ \dfrac{A(ABP}{A(ABQ)} = \dfrac{|PM|}{|QM|}$$ eşitliği geçerlidir.
Bunlara göre, $A'A'', B'B'', C'C''$ doğrularının noktadaş olması için gerek ve yeter şart $$ \dfrac{A(A''A'B'')}{A(A''A'C'')}\cdot \dfrac{A(B''B'C'')}{A(B''B'A'')}\cdot \dfrac{A(C''C'A'')}{A(C''C'B'')} = 1 $$ olmasıdır. Bu ifadenin sadece birinci oranı için nasıl bir yol izleyeceğimizi görelim. Diğer oranlar da benzer şekilde elde edilecektir.
Çemberde açı özellikleri yardımıyla $$\angle{A'AB}=\angle{A'BA''}=\angle{A'CB}=\color{Red}{a_{1}} , \angle{A'AC}=\angle{A'CA''}=\angle{A'BC}=\color{Blue}{a_2}$$ eşitlikleri bulunabilir. Buradan, $$A(A''A'B'')=\dfrac{|A''B''|\cdot|A'C|\sin\color{Blue}{a_2}}{2}$$ ve $$A(A''A'C'')=\dfrac{|A''C''|\cdot|A'B|\sin\color{Red}{a_1}}{2}$$ yazılır.
Ayrıca, $A'BC$ üçgeninde sinüs teoreminden $$\dfrac{|A'B|}{|A'C|}=\dfrac{\sin\color{Red}{a_1}}{\sin\color{Blue}{a_2}}$$ olduğundan bu bilgiyle birlikte alanlar oranı aşağıdaki biçimde yazılabilir.
$$\dfrac{A(A''A'B'')}{A(A''A'C'')}=\dfrac{|A''B''|}{|A''C''|}\cdot\dfrac{\sin^2\color{Blue}{a_2}}{\sin^2\color{Red}{a_1}}$$
Benzer notasyonlar ile $$\dfrac{A(B''B'C'')}{A(B''B'A'')}=\dfrac{|B''C''|}{|B''A''|}\cdot\dfrac{\sin^2\color{Blue}{b_2}}{\sin^2\color{Red}{b_1}}$$ ve $$\dfrac{A(C''C'A'')}{A(C''C'B'')}=\dfrac{|C''A''|}{|C''B''|}\cdot\dfrac{\sin^2\color{Blue}{c_2}}{\sin^2\color{Red}{c_1}}$$ elde edilecektir.
Bulunan sonuçların çarpımından $$ \dfrac{A(A''A'B'')}{A(A''A'C'')}\cdot \dfrac{A(B''B'C'')}{A(B''B'A'')}\cdot \dfrac{A(C''C'A'')}{A(C''C'B'')} = \dfrac{|A''B''|}{|A''C''|}\cdot\dfrac{|B''C''|}{|B''A''|}\cdot\dfrac{|C''A''|}{|C''B''|}\cdot \dfrac{\sin^2\color{Blue}{a_2}}{\sin^2\color{Red}{a_1}}\cdot \dfrac{\sin^2\color{Blue}{b_2}}{\sin^2\color{Red}{b_1}}\cdot\dfrac{\sin^2\color{Blue}{c_2}}{\sin^2\color{Red}{c_1}}$$ olup $AA' , BB' , CC'$ doğruları noktadaş olduğundan Ceva teoreminin trigonometrik formu gereği $$ \dfrac{\sin\color{Blue}{a_2}}{\sin\color{Red}{a_1}}\cdot \dfrac{\sin\color{Blue}{b_2}}{\sin\color{Red}{b_1}}\cdot\dfrac{\sin\color{Blue}{c_2}}{\sin\color{Red}{c_1}}=1$$ olduğundan istenen elde edilmiştir.
