Kenarortaysı (Simedyan)

[geo]

Bir üçgende bir köşeden geçen kenarortay doğrusunun, o köşeden geçen açıortay doğrusuna göre simetriğine (izogonal eşleniğine) o köşeye ait kenarortaysı (simedyan) denir. ABC üçgeninde A köşesine ait kenarortaysı BC kenarını K de kesiyorsa,
BK/KC=AB²/AC² olduğunu gösteriniz. (Elde edilen bu bağıntı ile Öklid’in dik üçgendeki hangi bağıntısı özdeş?)

Kenarortaysının kenarortaydan büyük olamayacağını gösteriniz. (ℓ_a ≤ m_a)

[alpercay]

İlk önce izogonal eşlenikle ilgili bir yardımcı iddia kanıtlayalım.
Yardımcı İddia.Şekilde |BD|=|DC|  olmak üzere  AK doğrusu simedyandır ancak ve ancak  x/y=c/b

Kanıt.İlk tarafın kanıtı ile başlayalım.AK doğrusu simedyan ve K noktasının   AB  ve  AC kenarlarına uzaklığı sırasıyla x ve y,  D ninki de sırasıyla n ve m olsun.Bu durumda oluşan dik üçgenlerin benzerliğinden  x/m=AK/AD  ve n/y=AD/AK ve dolayısıyla  x/y=m/n ....(1)  yazılabilir.AD kenarortayı ABC üçgeninin alanını ortalayacağından Alan(ABD)=Alan(ADC)=c.n=b.m  ve m/n=c/b....(2) dir.(1) ve (2) den x/y=c/b olur.
Şimdi x/y=c/b olduğunu kabül edelim.c/b=m/n olduğundan x/y=m/n dir.Bunun anlamı AD ile AK doğrularının izogonal olmasıdır ve AD kenarortay olduğundan AK doğrusu simedyan olmalıdır.

İddia.
Bir üçgende bir köşeden geçen kenarortay doğrusunun, o köşeden geçen açıortay doğrusuna göre simetriğine (izogonal eşleniğine) o köşeye ait kenarortaysı (simedyan) denir. ABC üçgeninde A köşesine ait kenarortaysı BC kenarını K de kesiyorsa,
BK/KC=AB²/AC² olduğunu gösteriniz. (Elde edilen bu bağıntı ile Öklid’in dik üçgendeki hangi bağıntısı özdeş?)

Kanıt.Şekilde temel benzerlik teoreminden BK/KD=x/n  ve  CD/CK=m/y=BD/CK yazılabilir.Bu iki eşitliğin çarpımı ve yardımcı iddiadan  BK/CK=(x/n).(m/y)=(c/b).(c/b)=c²/b² elde olunur.

Dik üçgende bilinen gösterimlerle  c²=p.a  ve b²=k.a eşitlikleri birbirine bölünürse c²/b²=p/k olur.Burada dik üçgende hipotenüse ait yüksekliğin simedyan olduğunu gözlemleyebiliriz.

[alpercay]

İddia. Kenarortaysı  k_a , kenarortay V_A olmak üzere  k_a nın V_A dan küçük eşit olduğunu gösteriniz.

Kanıt. Şekilde AN hem AKD üçgeninin hem de ABC üçgeninin açıortayıdır.Buradan BN/CN=c.k/b.k ve k(c+b)=a olup k=a/(c+b) olduğundan BN=c.a/(b+c)  ve CN=b.a/(b+c) yazılır.AK simedyan olduğundan BK/CK=c².k'/b².k'   ve k'(c²+b²)=a olup  k'=a/(b²+c²) olduğundan BK=c².a/(c²+b²) ve CK=b².a/(c²+b²)  yazılır.AKD üçgeninde açıortay teoreminden
k_a/V_A=x/y=(BN-BK)/(CN-CD) olup bulunan ifadeler yerine yazılırsa k_a/V_A=2bc/(b²+c²)  ve aritmetik orta geometrik orta eşitsizliğinden 2bc küçük eşit b²+c² olduğundan istenen gösterilmiş olur.

[geo]

Kenarortaysının kenarortaydan büyük olamayacağı açı-kenar bağıntıları vasıtasıyla da gösterilebilir.

∠B > ∠C ise kenarortaysı B'ye, kenarortay da C'ye daha yakın olacak.
Yukarıdaki şekli kullanırsak, AKM üçgeninde ∠AKC > ∠ADB olduğu için AD>AK dır.
∠B = ∠C olduğu durumda AD = AK olacağı için  ℓ_a ≤ m_a eşitsizliği elde edilir.