Newton doğrusu ya da Gauss doğrusu isimleriyle bilinen klasik teorem, bazen newton - gauss doğrusu ismiyle de kullanılıyor. biz iki ismi de kullanalım.
Teorem (Newton - Gauss Doğrusu): ABC bir üçgen olsun. ABC nin AB, BC, CA kenarlarını (veya gerekirse uzantılarını) D, E, F noktalarında kesen herhangi bir doğru çizelim. DC, AE, BF doğru parçalarının orta noktaları doğrusaldır. Bu doğruya Gauss doğrusu veya Newton - Gauss doğrusu denir.
AE, DC, BF doğru parçalarının orta noktaları X, Y, Z olsun. En kolay ispatı şu şekilde yapılır. Önce X, Y, Z noktaları ABC nin medial üçgeninin kenarları üzerinde bulunduğu gösterilir. Sonra medial üçgen ve X, Y, Z için menelaüs teoreminin sağlandığı gösterilir.
başlayalım: AB, AC, BC nin orta noktaları K, L, M olsun. KLM medial üçgendir. KL doğru parçası BC nin orta tabanı olduğundan KL // BC dir. XL, AEC üçgeninde EC nin orta tabanı olduğundan XL // EC dir. Böylece KL // XL olup KL ve XL doğruarı çakışmak zorundadır. X noktası KL üzerindedir. Benzer şekilde Y ve Z noktaları sırasıyla ML ve KM üzerinde olduğu gösterilebilir. AXL ~ AEC ve AXK ~AEB olduğundan AX/AE = LX/CE ve AX/AE = XK/EB dir. Buradan LX/XK = CE/EB ... (1) elde edilir. benzer şekilde KZ/ZM = AF/FC ... (2) ve MY/YL = BD/DA ... (3)
(1), (2), (3) eşitliklerini taraf tarafa çarparsak: (LX/XK)(KZ/ZM)(MY/YL) = (CE/EB).(BD/DA).(AF/FC) dir. Fakat D,E,F noktaarından geçen doğru ABC üçgeni için bir kesen olduğundan menelaüs teoremi gereince (CE/EB).(BD/DA).(AF/FC) = 1 dir. Dolayısıyla (LX/XK)(KZ/ZM)(MY/YL) = 1 olur. Bu ise menelaüs teoreminin karşıtı olup KLM üçgeni için X, Y, Z nin bir kesen oluşturduğunu (doğrusal olduğunu) gösterir.
