Verilecek teoremler pek de Temel Dörtgen Özelliklerine uymuyor ama yeni bir başlık açmak istemedim.
Teorem 1. Kenar uzunlukları a,b,c,d , yarı çevresi u ve parametresi x = ( <A + <C ) / 2 olan basit bir ABCD dörtgeninin alanı S olmak üzere
S2 = (u -a)(u - b)(u - c)(u - d) - a.b.c.d.cos(x)
ile bulunur.
Teorem 2. Kenar uzunlukları verilen dörtgenlerden en büyük alanlı olanı kirişler dörtgenidir.
AB=a, BC=b, CD=c, AD=d, AC=p, ∠ABC=α, ∠ADC=β olsun.
Kosinüs teoreminden p
2 = a
2+b
2-2ab(cosα), p
2 = c
2+d
2-2dc(cosβ). Buradan da
a
2+b
2-2ab(cosα)= c
2+d
2-2cd(cosβ) ⇨ a
2+b
2 - c
2-d
2 = 2ab(cosα)-2cd(cosβ).
Her iki tarafı 2 ye bölüp, her iki tarafın karesini alalım:
[(a
2+b
2-c
2-d
2)/2]
2=a
2b
2cos
2α + c
2d
2cos
2β - 2abcd(cosα)(cosβ)
(…1…)Şimdi de ABCD dörtgeninde alanı yazalım:
A=ab(sinα)/2+cd(sinβ )/2 ⇨ 4A
2=a
2b
2sin
2α + c
2d
2sin
2β + 2abcd(sinα)(sinβ)
(…2…) elde edilir. (…1…) ile (…2…) yi taraf tarafa toplarsak sin
2x + cos
2x = 1 ve cos(x+y)=cosx.cosy - sinx.siny olacağından
a
2b
2+c
2d
2-2abcd.cos(α+β)=4A
2 + [(a
2+b
2-c
2-d
2)/2]
2 (…3…) elde edilir. a, b, c, d verildiği için maksimum alan için cos(α+β) değeri minimum olmalı. Yani α+β=180
o olmalı. Bu da ABCD nin kirişler dörtgeni olduğunu gösterir. (…3…) ü yeniden düzenlersek
a
2b
2+c
2d
2-2abcd = 4A
2 + [(a
2+b
2-c
2-d
2)/2]
2 ⇨ (ab+cd)
2- [(a
2+b
2-c
2-d
2)/2]
2 = 4A
2İki kare farkından yararlanılarak
(2ab+2cd+a
2+b
2-c
2-d
2)(2ab+2cd-a
2-b
2+c
2+d
2)=16A
2 ⇨[(a+b)
2-(c-d)
2].[(c+d)
2-(a-b)
2] = (b+c+d-a) (a+c+d-b)(a+b+d-c)(a+b+c-d)
elde edilir. u=(a+b+c+d)/2 ise
16A
2 = (2u-2a)(2u-2b)(2u-2c)(2u-2d)
ve sonunda A = √[(u-a)(u-b)(u-c)(u-d)] elde edilir. (u-a)+(u-b)+(u-c)+(u-d)=2u olduğu için, çevresi sabit dörtgenler için A.O≥ G.O eşitsizliğinden (u-a)=(u-b)=(u-c)=(u-d) iken alan en büyük olur. Buradan dörtgen eşkenar ve kirişler dörtgeni elde edilir. Bu da dörtgen kare demektir. Çevresi sabit dörtgenler arasında alanı en büyük olan şekil karedir.
