2008 Samanyolu - 2.bölüm soruları

[Lokman Gökçe]

2008 Samanyolu - ilköğretim matematik yarışması 2.bölüm soruları. çözümlerine herhangi bir yerde rastlamadım. Soruları ekliyorum , beraberce çözümleri de ekleyelim. İmkan varsa öğrencileri bu tür yarışmalara götürmek çok faydalı. (Benim ufaklıklar da de katılmıştı bu sınava)

[Lokman Gökçe]

1. Sorunun Çözümü:

[Lokman Gökçe]

2. Sorunun Çözümü:

şöyle bir çözüm verelibiriz: Tüm x_i değerleri birbirinden farklı ise verilen toplam 1/1 +1/2 + 1/3 + ... + 1/10⁴ ten küçüktür. 1/1 +1/2 + 1/3 + ... + 1/10⁴ < 200 olduğu gösterilerek 200 < 200 çelişkisine ulaşırız. O halde bu x_i sayıları arasında en az iki tane birbirine eşit olanı vardır.

tabii burada  1/1 +1/2 + 1/3 + ... + 1/10⁴ < 200 eşitsizliği pek açık olmayabilir. Bunun için de y = 1/x eğrisinin altında kalan alanı ile bir kıyaslamaya gittim. Aslında bu yöntemle verilen toplam için, bırakın 200 ü, 11 den bile küçük olduğunu gösterebiliyoruz.

1/1 +1/2 + 1/3 + ... + 1/10⁴ toplamının tam değerini veren bilgisayar programını yazmayı Güneş (senior) kardeşime havale ediyorum. biraz sezgi ile tam değerin 9 çıkacağını tahmin ediyorum 

[senior]

Toplam 9.7876, tam değer 9 =)

[Lokman Gökçe]

integral testi ile toplamın 1+ ln(10⁴) ten küçük olduğunu bulmuştum.Bu da yaklaşık 10,21 oluyordu. dedim ki zaten integral testi kullanarak yazdığım eşitsizlikte bir sürü israf yaptım, toplam 10 dan bile küçük olsa gerek diye tahmin etmiştim. beni tasdik ettiğin için teşekkürler

[Ferhat GÖLBOL]

Çözüm-3:
Dizinin her bir terimi bir rakam olduğundan ardışık 4 terim en fazla 10⁴ = 10000 farklı şekilde seçilebilir. İlk 10004 terimi düşünürsek bu terimler içinde 10001 tane ardışık 4'lü bulunur ve güvercin yuvası prensibine göre bu 10001 dörtlüden en az ikisi aynıdır. Bir ardışık 4'lü tekrar ettiğinde ondan sonraki terimlerin aynen tekrar edeceği aşikardır. Bu nedenle bu dizi periyodiktir ve dizinin periyodu en fazla 10000 'dir.

a₁=6, a₂=7, a₃=8, a₄=9 dizisini geriye doğru genişletirsek a₀=8, a_-1=7, a_-2=6, a_-3=5 ve (a_-3,a_-2,a_-1,a₀) ardışık 4'lüsünün (5,6,7,8) olduğunu buluruz. Dizimiz periyodik olduğundan da (5,6,7,8) dörtlüsü tekrarlı bir şekilde dizide yer alır.

soru:  3. soruda verilen dizinin periyodunun 1560 olduğunu matematiksel yöntemlerle ispatlayınız (1560 değerini bilgisayarda hesapladım).

[Ferhat GÖLBOL]

Lokman hocam, 2. soruda $\dfrac{1}{x_n} $ 'lerin değil, $\dfrac{1}{\sqrt{x_n}}$ 'lerin toplamı isteniyor. $\displaystyle{\sum_{n=0}^{10000}\frac{1}{\sqrt{n}} = 198.545 }$ ediyor.
Yine $200$'den küçük ama $200$'e yakın 

[orhangokce]

3. sorunun çözümü çok güzelmiş.Acaba farklı bir yol vsr mı diye düşünüyorum..

[Lokman Gökçe]

Lokman hocam, 2. soruda $\dfrac{1}{x_n}$ 'lerin değil, $\dfrac{1}{\sqrt{x_n}}$ 'lerin toplamı isteniyor. $\displaystyle{\sum_{n=0}^{10000}\dfrac{1}{\sqrt{n}} = 198.545}$ ediyor.
Yine $200$'den küçük ama $200$'e yakın   

uyarın için teşekkürler ferhat kardeşim ben de soruyu çözerken kendi kendime ''200 üst sınırını fazla vermişler, biraz daha küçültülüp soru zorlaştırılabilirdi'' diyordum.
$\displaystyle{\sum_{n=0}^{10000}\frac{1}{\sqrt{n}} < 200 }$ olduğunu elemanter yöntemler de gösterebiliriz sanırım. böyle bir çözüm ilköğretim düzeyine de uygun olacaktır.

[Lokman Gökçe]

2. soruya ulaşamıyorum ama eski mesajlardan edindiğim izlenimle, soru sanırım şöyle.:

Problem 2: $x_i$ ler birbirinden farklı pozitif tam sayılar olmak üzere $\displaystyle{\sum_{n=1}^{10000}\frac{1}{\sqrt{x_i}}< 200 }$ olduğunu kanıtlayınız.


Çözüm: $x_i$ ler farklı olduğundan $\displaystyle{\sum_{n=1}^{10000}\frac{1}{\sqrt{x_i}} \leq \sum_{n=1}^{10000}\frac{1}{\sqrt{n}}}$ yazabiliriz. $ \displaystyle{T= \sum_{n=1}^{10000}\frac{1}{\sqrt{n}} = 1 + \sum_{n=2}^{10000}\frac{1}{\sqrt{n}} }$  diyelim. Her $n\geq 2$ pozitif tam sayısı için, $\sqrt{n} + \sqrt{n-1} < 2\sqrt{n} < \sqrt{n} + \sqrt{n+1}$ olduğundan, $\dfrac{1}{\sqrt{n} + \sqrt{n+1}}< \dfrac{1}{2\sqrt{n}}< \dfrac{1}{\sqrt{n} + \sqrt{n-1}} $ olur. Bu eşitsizlik için $n=2, 3, \dots, 10000$ üzerinden toplama yaparsak
$$ \displaystyle{  \sum_{n=2}^{10000} \dfrac{1}{\sqrt{n} + \sqrt{n+1}}<  \sum_{n=2}^{10000} \dfrac{1}{2\sqrt{n}}<  \sum_{n=2}^{10000} \dfrac{1}{\sqrt{n} + \sqrt{n-1}}} $$
$$ \implies \displaystyle{  2\sum_{n=2}^{10000} (\sqrt{n+1} - \sqrt{n})<  T - 1 < 2 \sum_{n=2}^{10000} (\sqrt{n} - \sqrt{n-1}) } $$
$$ \implies \displaystyle{  2(\sqrt{10001} - \sqrt{2})<  T - 1 < 2 (\sqrt{10000} - \sqrt{1}) } $$
olur. Böylece $T$ için oldukça hassas alt ve üst sınırlar elde etmiş olduk. Biz $T - 1 < 2 (\sqrt{10000} - \sqrt{1}) $ eşitsizliğinden $T<199$ elde ediyoruz. $T<199<200$ olup istenen eşitsizlik gösterilmiştir.


Not: $ 2(\sqrt{10001} - \sqrt{2})<  T - 1$ eşitsizliği üzerinde çalışırsak $\sqrt{10001}>100$ ve $\sqrt{2}<1,42$ olduğundan $T>198,16$ elde edilir. Böylece $198,16<T<199$ olup $T$ nin tam değeri $\left\lfloor T \right\rfloor = 198$ bulunur.