Bazı özel tanımlar, kavramlar kullanıldığı için sorulara istenilen türde cevap verilmemiş olabilir. Soru soranların bu kavramları açması daha faydalı olurdu. Örneğin; pozitif karşıt yöntemiyle ispat, çelişki yöntemiyle ispat, tümevarım ilkesinin 1. biçimi ile ispat, tümevarım ilkesinin 2. biçimi ile ispat gibi ... Bunlardan ne kastedildiği hakkında bilgilendirilir isek, o zaman uygun ispatları yazma şansımız olurdu. Başlayalım:
1. Aksini kabul edelim ve $m,n \leq 24$ olsun. Bu durumda $m+n\leq 48$ dir. Bu ise $m+n \geq 49$ olması ile çelişir. O halde $m,n$ pozitif tamsayılarından en az biri $\geq 25$ olmalıdır.
2.$m$ pozitif tamsayısı için $m^2=2$ olduğunu kabul edelim. $1<2<4$ olduğundan $1<m^2<4$ tür. Böylece $1<m<2$ elde edilir. Ardışık iki tamsayı arasında başka tamsayı bulunamayacağından $m$ bir tamsayı olamaz, çelişki!
3. $a$ ve $b$ gibi iki pozitif tamsayının toplamı olan $a+b$ değerini, sayı doğrusu üzerinde $a$ dan $b$ birim pozitif yönde ilerleyerek geldiğimiz nokta olarak tanımlıyoruz. $1$'in $1$ birim ilerisindeki noktayı bir sembolle gösterelim. Bu nokta $J$ ile gösterilirse $1+1=J$ olur. $\Phi$ ile gösterilirse $1+1=\Phi$ olur. Dünya genelinde daha karmaşık bir sembol olan $2$ ile gösterildiği için $1+1=2$ olur diyoruz. Yani bu tanımlardan ve kabullerden oluşan bir durum, ispatlanacak bir şey göremedim.
4. $n$ bir pozitif tamsayı olmak üzere $1+2+3+\cdots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}$ olduğunu tümevarım prensibiyle ispatlayalım. Ben kullanacağım yöntemi 'zayıf tümevarım prensibi' ismiyle biliyorum. Numara olarak kaçıncı tümevarım ilkesine karşılık geldiğini bilmiyorum. $n=1$ için $1=\dfrac{1(1+1)}{2}$ sağlandığı için önerme bu halde doğrudur. Önermenin bir $n$ değerinde doğru olması halinde $n+1$ değerinde de doğru olacağını ispatlayalım. Yani $1+2+3+\cdots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}$ eşitliğinin sabit, belli bir $n$ için doğru olduğunu kabul ediyoruz. Bu halde $1+2+3+\cdots + n + (n+1) = \dfrac{(n+1)(n+2)}{2}$ ... (*) sağlanacak mı? Bunu araştıralım. $1+2+3+\cdots + n + (n+1) = \left[1+2+3+\cdots + n \right]+(n+1) = \dfrac{n(n+1)}{2} + (n+1) = \dfrac{(n+1)(n+2)}{2}$ elde edilir. Yani önerme $n+1$ için de doğrudur. Tümevarım prensibi gereği önerme her $n$ pozitif tam sayısı için doğrudur.
5. Yazacağımız tüm fonksiyonların $f: \mathbb R \to \mathbb R$ şeklinde tanımlandığını düşünelim.
$f(x)=e^x$ fonksiyonu bire birdir, ancak örten değildir. Zira negatif değerleri almaz.
$f(x)=x^3-x^2$ fonksiyonu örtendir. Ancak $f(0)=f(1)=0$ olup bire bir değildir.
$f(x)=x$ fonksiyonu bire bir ve örten bir fonksiyondur. Yani bir eşlemedir.
Sorular bana çok sıkıcı geldiği için cevap yazmak istememiştim. Biraz geç cevap oldu. İnş sınavdan geçmişsinizdir. Bana $1+1=2$, $2+1=3$, $2+3=5$ ..vs olduğunu tümevarımla ispatlayınız gibi sorular sorsalar sınavdan sınavdan sıfır çekip gelirdim herhalde
.
