Tübitak Avrupa Kızlar Takım Seçme 2013 Soru 3

[MATSEVER 27]

Dar açılı bir $ABC$ üçgeninin $AD$ ve $CE$ yükseklikleri $H$ noktasında kesişiyor. $[AC]$ kenarının orta noktası $K$ ve $[DE]$ doğru parçasının orta noktası da $P$ olsun. $K$ nin $AD$ doğrusuna göre simetriği $Q$ noktası ise $m(\widehat{QPH})=90^\circ$ olduğunu gösteriniz.

[ERhan ERdoğan]

$QK\cap AD ={T}$ olsun. $QK \parallel DC$ ve $|QT|=|TK|=\dfrac{|DC|}{2}$ dir. $P$ den $DC$ ye çizilen paralelin $EC$ yi kestiği nokta  $R$ ise $|PR|=\dfrac{|DC|}{2}$ dir. $|PR|=|QT|$ ve $PR \parallel QT$ olduğundan $PQTR$ bir paralelkenardır. $PT \parallel AB$ ve $PR \parallel BC$ olduğundan $RH \perp PT$ ve $TH \perp PR$ olur. Buna göre $H$, $PTR$ üçgeninin diklik merkezi olup $ PH\perp TR$ dir. Bu durumda $PQRT$ paralelkenar olduğundan $PH \perp PQ$ olur.