2000 Antalya Matematik Olimpiyatı 2. Aşama Lise 2-3 Soru 2

[matematikolimpiyati]

İki öğrenci, tahtaya $x^2+19x+91$ polinomunu yazarak şöyle bir oyun oynuyorlar: Birinci oyuncu, polinomun başkatsayısı dışındaki katsayılarından birini silip, onun yerine bir fazlasını veya bir eksiğini yazıyor. Benzer şekilde, ikinci oyuncu da ortaya çıkan polinomun başkatsayısı dışındaki katsayılarından birini silip, onun yerine bir fazlasını veya bir eksiğini yazıyor ve oyun bu şekilde sürdürülüyor. Bir süre sonra, tahtada $x^2+91x+19$ polinomu yazılmış olduğuna göre, bundan önce yazılan polinomlardan en az birinin köklerinin ikisinin de tam sayı olduğunu kanıtlayınız.

[Metin Can Aydemir]

Yazılan fonksiyonlarda $x=-1$ noktasındaki değerlere bakalım, bunları bir yere yazalım. Her hamlede bir katsayı $\pm 1$ olarak değiştiriyoruz. Dolayısıyla arka arkaya yazdığımız sayılar arasındaki fark $\pm 1$ olacaktır. İlk yazılan sayı $(-1)^2+19(-1)+91=73$ ve son yazılan sayı $(-1)^2+91(-1)+19=-71$'dir. Her hamlede $1$ arttırıp, $1$ azalttığımız için $-71$ ve $73$ arasındaki tüm tamsayıların en az bir kere yazılması gerekir. Dolayısıyla $0$ da yazılmıştır. $f(-1)=0$ olacak şekilde bir polinom elde edilmiştir. Bu polinomun kökleri toplamı $x$'in katsayının negatifi olduğundan diğer kök de tamsayıdır. Bu yüzden iki kökü de tamsayı olan bir polinom elde edilmiştir.