Denklemi $\bmod 4$'te incelediğimizde $1^m + (-1)^n \equiv 0,1,0,3 \pmod 4$ olacağı için $n$ tek olmalı.
$\bmod 7$'de
$5^m$ in kalan sınıfı $\{5,4,6,2,3,1\}$,
$k^3$ in kalan sınıfı $\{1,1,6,1,6, 6, 0\}$
olduğu için $m \equiv 3 \pmod 6$ yani $m=3a$ olmalı.
Bu durumda denklem $5^{3a} + 7^n = k^3$ e dönüşür.
$7^n = k^3 - (5^a)^3 \Rightarrow 7^n = (k - 5^a)\left( (k-5^a)^2 + 3\cdot k \cdot 5^a \right )$
İkinci çarpan ilkinden büyük olduğu için $k-5^a \equiv 0 \pmod 7$ olduğunda $3\cdot k \cdot 5^a \equiv k \equiv 0 \pmod 7$ gerekeceği için $k-5^a \equiv 0 \pmod 7$ olamaz.
Bu durumda geriye sadece $k-5^a = 1$ durumu kalıyor. Yerine yazarsak $1+3\cdot k\cdot 5^a = 7^n$ elde ederiz. $a\geq 1$ için $\bmod 5$'te incelersek, $n \equiv 0 \pmod 4$ elde ederiz ki bu başlangıçta bulduğumuz $n$ tek olmalı yargısıyla çelişir. O halde $a\geq 1$ için bir çözüm yok.
Geriye sadece $a=0$ ve dolayısıyla $k-5^a = 1 \Rightarrow k=2$ durumu kalıyor. Bu durumda denklemin tek çözümü $(m,n,k)=(0,1,2)$ oluyor.