Gönderen Konu: 1997 Antalya Matematik Olimpiyatı 2. Aşama Lise 1 Soru 5  (Okunma sayısı 2045 defa)

Çevrimdışı matematikolimpiyati

  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 1.562
  • Karma: +4/-0
1997 Antalya Matematik Olimpiyatı 2. Aşama Lise 1 Soru 5
« : Mart 22, 2023, 04:17:37 öö »

$ABC$ üçgeni bir $d$ doğrusu tarafından eşit alanlı iki parçaya ayrılıyor. $d$ doğrusu, $[AB]$'yi $D$ ve $[AC]$'yi $E$ noktasında kesiyor (şekilden izleyiniz).

$$\dfrac{|AD|+|AE|}{|BD|+|DE|+|EC|+|CB|} > \dfrac{1}{4}$$
olduğunu gösteriniz.
« Son Düzenleme: Mart 22, 2023, 04:19:42 öö Gönderen: matematikolimpiyati »

Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 2.633
  • Karma: +9/-0
Ynt: 1997 Antalya Matematik Olimpiyatı 2. Aşama Lise 1 Soru 5
« Yanıtla #1 : Mayıs 06, 2023, 12:37:23 öö »
$AD \geq \dfrac {AB}2$ olmak zorunda aksi halde $\dfrac {[ABC]}{2} > [ADC] \geq [ADE]$.
Benzer şekilde $AE \geq \dfrac {AC}2$.
Taraf tarafa toplarsak $$2(AD+AE)\geq AB+AC \tag{1}$$
Üçgen eşitsizliğinden $AD+AE>DE$ ve $AB+AC>BC$.
Taraf tarafa ekleyip her iki tarafa $BD+CE$ eklersek $$2(AB+AC) > BD+DE+CE+BC \tag{2}$$
$(1)$ ve $(2)$ yi birleştirdiğimizde $4(AD+DE)  \geq 2(AB+AC) > BD+DE+CE+BC$ elde ederiz.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal