1997 Antalya Matematik Olimpiyatı 2. Aşama Lise 1 Soru 1

[matematikolimpiyati]

$m \in \mathbb R$ olmak üzere,
$$x^2+(m-4)x+(m^2-3m+3)=0$$
denkleminin iki reel kökü $x_1$ ve $x_2$ dir. $x_1^2+x_2^2=6$ olduğuna göre, $m$ nin alabileceği değerleri bulunuz.

[Metin Can Aydemir]

Öncelikle $x_1$ ve $x_2$ bu denklemin çözümü olduğundan $$x_1^2=(4-m)x_1-(m^2-3m+3)$$ $$x_2^2=(4-m)x_2-(m^2-3m+3)$$ $$\implies x_1^2+x_2^2=(4-m)(x_1+x_2)-2(m^2-3m+3)$$ olur. Vieta teoreminden $x_1+x_2=4-m$'dir. Yerine yazarsak, $$6=(4-m)^2-2(m^2-3m+3)=-m^2-2m+10\implies m^2+2m-4=0\implies m=-1\pm\sqrt{5}$$ elde edilir. Köklerin reel olması gerektiğini de göz önünde bulundurursak, $$\Delta=(m-4)^2-4(m^2-3m+3)\geq 0\implies (3m-2)(m-2)\leq 0\implies m\in\left[\frac{2}{3},2\right]$$ olmalıdır. Dolayısıyla $m=-1-\sqrt{5}$ istediğimiz bir çözüm değildir. Sadece $m=\sqrt{5}-1$ aradığımız özellikleri sağlar.