Tübitak Lise 2. Aşama 1999 Soru 2

[geo]

$O$ merkezli bir çembere, dışındaki bir $S$ noktasından çizilen teğetlerin değme noktaları $P$ ve $Q$; $SO$ doğrusunun çemberle kesişim noktaları $A$ ve $B$; $PB$ (küçük) yayının herhangi bir iç noktası $X$; $QX$ ve $PX$ doğrularının $OS$ doğrusu ile kesişim noktaları $C$ ve $D$ ile gösterilmek üzere, $$\dfrac{1}{\vert AC\vert }+\dfrac{1}{\vert AD\vert }=\dfrac{2}{\vert AB\vert }$$ olduğunu ispatlayınız.

[geo]

$SPQ$ üçgeni ($SP=SQ$) ikizkenar üçgen olup, $A$ noktası $PQ$ yayının orta noktası ve dolayısıyla

$XA$, $PXQ$ açısının açıortayıdır. Diğer taraftan, $AXB$ açısı $AB$ çapını gören bir çevre açı olduğundan bir dik açıdır. Bu nedenle $XB$, $QXD$ açısının açıortayıdır. $CXD$ üçgeninde $XB$ ve $XA$ açıortay olduklarından, açıortay teoremi gereğince, $$\dfrac{CB}{BD}=\dfrac{AC}{AD}\ \left(\Leftrightarrow \dfrac{AC}{CB}=\dfrac{AD}{BD}\Leftrightarrow \dfrac{CB}{AC}=\dfrac{DB}{AD}\right)\Leftrightarrow \dfrac{CB}{AC}=\dfrac{DB}{AD}$$ $$\Rightarrow \dfrac{CB}{AB\cdot AC}=\dfrac{DB}{AB\cdot AD}\Rightarrow \dfrac{AB-AC}{AB\cdot AC}=\dfrac{AD-AB}{AB\cdot AD}$$ $$\Rightarrow \dfrac{1}{AC}-\dfrac{1}{AB}=\dfrac{1}{AB}-\dfrac{1}{AD}\Rightarrow \dfrac{1}{AC}+\dfrac{1}{AD}=\dfrac{2}{AB}$$ bulunur.

Kaynak:
Matematik Dünyası 2000-II