Önce $a$ bir tamsayı olmak üzere; $x^2+y^2 \equiv a \pmod {37}$ denkliğini sağlayan $(x,y)$ sıralı tamsayı ikililerinin sayısını bulalım. $a\equiv 0 \pmod {37}$ ise, $x^2+y^2\equiv 0 \pmod {37}$ denkliği, $y^2\equiv {\left(6x\right)}^2 \pmod {37}$ e dolayısıyla $y\equiv \pm 6x \pmod {37}$ denkliklerine eşdeğer olduğu için, çözüm olarak $2\cdot 36+1=73$ $(x,y)$ sıralı ikilisi elde edilir.
Şimdi de $a\ \not \equiv 0 \pmod{37}$ durumuna bakalım. $x^2+y^2\equiv x^2-36y^2\equiv \left(x-6y\right)\left(x+6y\right) \pmod{37}$ olduğu için, aradığımız sayı $\left(x-6y\right)\left(x+6y\right)\equiv a\pmod{37}$ denkliğini sağlayan $(x,y)$ sıralı ikililerinin sayısıdır. Öte yandan, $a\ \not\equiv 0 \pmod{37}$ olduğundan, her $1\le u\le 36$ tamsayısı için, $uv\equiv a\pmod{37}$ ve $1\le v\le 36$ koşullarını sağlayan tam olarak bir $v$ tamsayısı bulunur. Böyle $\left(u,v\right)$ sıralı ikilileri ile $u\equiv x-6y$, $v\equiv x+6y$, $0\le x,y\le 36$ koşullarını sağlayan $\left(x,y\right)$ sıralı ikilileri arasında bire-bir bir eşleme bulunduğundan, bu durumda, $x^2+y^2\equiv a\pmod{37}$ bağıntısının çözümü olan $36$ $\left(x,y\right)$ ikilisi bulunur.
Diğer taraftan $z^3+w^3\equiv 0\pmod{37}$ denkliği, $w^3\equiv -z^3\pmod{37}$, dolayısıyla da $w\equiv -z$ veya $11z$ veya $-10z$ $\pmod{37}$ bağıntılarına eşdeğerdir. Yani $z^3+w^3\equiv 0\pmod{37}$, $0\le z,w\le 36$ koşullarını sağlayan $36\cdot 3+1=109$ $(z,w)$ sıralı tamsayı ikilisi vardır. Sonuç olarak, $\left(z,w\right)$ ikililerinin alabileceği toplam ${37}^2$ değerden $109$ u için, istenen koşulu sağlayan $73$ $(x,y)$ ikilisi, ${37}^2-109$ tanesi için de $36$ $\left(x,y\right)$ ikilisi vardır. Aranan sayı, $$109\cdot 73+\left({37}^2-109\right)\cdot 36=53317$$ dir.
Kaynak:Matematik Dünyası 2000-II
