Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2019 Soru 18

[ERhan ERdoğan]

$x$ ve $y$ pozitif tam sayılar ve $x^{2}y^{2}-80=2xy$ olmak üzere, $x+y$ nin alabileceği faklı değerler toplamı kaçtır?


$\textbf{a)}\ 18 \qquad\textbf{b)}\ 20 \qquad\textbf{c)}\ 22   \qquad\textbf{d)}\ 24 \qquad\textbf{e)}\ 26 $

[ERhan ERdoğan]

Yanıt: $\boxed{A}$

İfadeyi $(xy)^2-2(xy)-80=0$ biçiminde yazarak çarpanlarına ayırırsak $(xy-10)(xy+8)=0$ olur ve bu eşitliğin sağlanması için $xy=10$ ve $xy=-8$ olmalıdır. İki pozitif tam sayının çarpımı pozitif olacağından $xy\neq -8$ dir. Buna göre $xy=10$ için $x\cdot y=1\cdot10=2\cdot5$ durumları mevcut olduğundan $x+y=1+10=11$ veya $x+y=2+5=7$ dir.
$x+y$ nin alabileceği faklı değerler toplamı $18$ olur.