Köklü ifadenin tam sayı olması

[AtakanCİCEK]

$\sqrt{\frac{25}{2}+\sqrt{\frac{625}{4}-n}}$+$\sqrt{\frac{25}{2}-\sqrt{\frac{625}{4}-n}}$ tamsayı olacak şekilde tüm $n$ tamsayılarını bulunuz. (Baltık Way M.O. 1993)

[Metin Can Aydemir]

Öncelikle ifadenin tanımlı olabilmesi ve tamsayı olduğu için $\dfrac{625}{4}\geq n \Rightarrow 156\geq n$ olur.
Şimdi $$m=\sqrt{\frac{25}{2}+\sqrt{\frac{625}{4}-n}}+\sqrt{\frac{25}{2}-\sqrt{\frac{625}{4}-n}}$$ yazalım. Karesini alırsak $$m^2=25+2\sqrt{n}$$ olur. Yani $n$ tamkare olmalı. $n=t^2$ olsun. $156\geq n \Rightarrow 12\geq t \Rightarrow 25+24=49 \geq m^2=25+2t \geq 25$ olduğundan $7\geq m\geq 5$ olur. ü
$m=5$ ise $n=0$ olur.
$m=6$ ise $25+2\sqrt{n}=36 \Rightarrow \sqrt{n}=\dfrac{11}{2}$ olur fakat $n$ tamsayı olamaz.
$m=7$ ise $25+2\sqrt{n}=49\Rightarrow \sqrt{n}=12$ olur buradan $n=144$ olur.

Yani $n$ sadece $0$ ve $144$ olabilir.