Tübitak Lise Takım Seçme 2007 Soru 3

[Lokman Gökçe]

$a,b,c$ pozitif gerçel sayıları, $a+b+c=1$ koşulunu sağlıyorsa, $$\dfrac{1}{ab+2c^{2}+2c}+\dfrac{1}{bc+2a^{2}+2a}+\dfrac{1}{ca+2b^{2}+2b}\ge \dfrac{1}{ab+bc+ca}$$ olduğunu kanıtlayınız.

(Selim Bahadır)

[merdan97]

Eşitsizliğin ispatı için, $$\dfrac{ab+ac+bc}{ab+2c^{2}+2c}+\dfrac{ab+ac+bc}{bc+2a^{2}+2a}+\dfrac{ab+ac+bc}{ca+2b^{2}+2b}\ge 1$$ olduğunu göstereceğiz. Bunun için, önce $$\dfrac{ab+ac+bc}{ab+2c^{2}+2c}\ge \dfrac{ab}{ab+bc+ac}$$ olduğunu gösterelim.Bu eşitsizlik $$a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2abc(a+b+c)\ge a^2b^2+2abc^2+2abc$$ eşitsizliğine denktir. $(a+b+c)=1$ olduğundan dolayı,bu eşitsizliği de $$b^2c^2+c^2a^2 \ge 2abc^2$$
biçiminde yazabiliriz. $A.O.\ge G.O.$ eşitsizliğine göre $$\dfrac{b^2c^2+c^2a^2}{2} \ge \sqrt{b^2c^2c^2a^2} $$ olduğundan bu eşitsizlik doğrudur.
Benzer şekilde, $$\dfrac{ab+ac+bc}{bc+2a^{2}+2a}\ge \dfrac{bc}{ab+bc+ac}$$ $$\dfrac{ab+ac+bc}{ca+2b^{2}+2b}\ge \dfrac{ca}{ab+bc+ac}$$ olduğu gösterilerek, bulunan bu üç eşitsizlik taraf tarafa toplanırsa, istenilen eşitsizlik elde edilecektir.

Kaynak:
Doç. Dr. Mustafa Özdemir (Matematik Olimpiyatlarına Hazırlık 5 sayfa 319)

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

$a,b,c$ pozitif reeller ve $a+b+c=\dfrac{2}{3}$ ise


$$\frac{1}{3ab+4c^2+4c}+\frac{1}{3bc+4a^2+4a}+\frac{1}{3ca+4b^2+4b}\geq \frac{1}{3(ab+bc+ca)}$$

olduğunu gösteriniz.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

$a,b,c$ pozitif reeller ve $a+b+c=\dfrac{7}{12}$ ise


$$\frac{1}{6ab+7c^2+7c}+\frac{1}{6bc+7a^2+7a}+\frac{1}{6ca+7b^2+7b}\geq \frac{1}{6(ab+bc+ca)}$$

olduğunu gösteriniz.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

$a,b,c$ pozitif reeller ve $a+b+c=\dfrac{5}{8}$ ise


$$\frac{1}{4ab+5c^2+5c}+\frac{1}{4bc+5a^2+5a}+\frac{1}{4ca+5b^2+5b}\geq \frac{1}{4(ab+bc+ca)}$$

olduğunu gösteriniz.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Genel hali için $\rightarrow$ Genelleştirilmiş Türkiye TST 2007 #5