Elimizde $PA+PB$, açıortay ve çevrel çember var. Bu üç bilgi, Ptolemy'nin özel halini hatırlatıyor. $\angle APB$ nin açıortayı çemberi $N$ de kessin.
Ptolemy'den $PA\cdot BN+PB\cdot AN=PN\cdot AB$ olacaktır. Biraz düzenlersek,
$$\dfrac{PA+PB}{PN}=\dfrac{AB}{AN}=\text{Sabit}$$
olarak elde edilir. $[NA$ üzerinde ($\left[NA\right]$ dışında) $A'$ noktası, $AA'=AB$ olacak şekilde alınsın. $\dfrac{MP}{PN}=\dfrac{PA+PB}{PN}=\dfrac{AB}{AN}=\dfrac{A'A}{AN}\Rightarrow PA\parallel MA'$
olacaktır. Bu da $\angle NMA'=\angle NPA= \text{Sabit} $ olmasını gerektirir.
Benzer şekilde $B'$ noktası aldığımızda, $\angle NMB'=\angle NPB= \text{Sabit} $ olacaktır.
Bu durumda $\angle A'MB'=\angle APB= \text{Sabit} $ olur. $A'$ ve $B'$ noktaları sabit olduğundan, $M$ noktası bir $A'B'$ yayı üzerindedir. Yayın tanımını biraz daha düzgün yazmaya çalışalım. $A'N=B'N$ olduğu için $\angle BA'N=\angle BAN=\angle B'MN$ olur. Bu durumda $N$, $A'$, $B'$ ve $M$ noktaları çemberseldir. $A'$, $B'$, $N$ noktaları sabit olduğundan $M$ noktası $\left(A'NB'\right)$ çemberinin $N$ yi içermeyen $A'B'$ yayı üzerindedir.
$P$ noktası, $AB$ yanının diğer kısmında da olabileceği için, bu yayın orta noktası $N'$ olsun. $A'$ ve $B'$ ne benzer şekilde $A''$ ve $B''$ noktalarını tanımlayalım. $M$ noktası, $\left(A''N'B''\right)$ çemberinin $N'$ yü içermeyen $A''B''$ yayı üzerindedir.
Yani, $M$ noktalarının geometrik yeri bir çift çember yayıdır.
Not: $\dfrac{MP}{PN}= \text{Sabit} \Rightarrow \dfrac{MP+PN}{PN}=\dfrac{MN}{PN}= \text{Sabit}$ olacağı için, Ptolemy'yi uyguladıktan, aslında $N$ merkezli bir homoteti uygulamış olduk.
