Uluslararası Matematik Olimpiyatı 2026 Soru 3

[geo]

$n$ verilmiş bir pozitif tam sayı olsun. Liu Bang ve Xiang Yu $1$ uzunluğunda bir çubuğu kendi aralarında bölüşmek istiyor. Başlangıçta Liu çubuk üzerinde en fazla $n$ tane nokta işaretliyor ve bundan sonra Xiang çubuk üzerinde en fazla $n$ tane nokta işaretliyor. İşaretlenmiş noktalar birbirlerinden farklı olmalıdır. Daha sonra bu çubuk tüm işaretli noktalardan kesilerek parçalara ayrılıyor. Sonrasında, oyuncular sırayla hamle yapıyorlar ve her hamlede sırası gelen oyuncu daha önce alınmamış parçalardan birini alıyor. İlk hamleyi Liu yapıyor. Her oyuncunun amacı, aldığı parçaların uzunluklarının toplamının mümkün olduğunca fazla olmasıdır.

$n$ sayısı verildiğinde, Xiang nasıl oynarsa oynasın Liu aldığı parçaların uzunluklarının toplamının en az $c$ olmasını garantileyebiliyorsa, $c$ sayısının alabileceği en büyük değeri bulunuz.