Geomania.Org Forumları
Matematik Eğitimi => Matematik Eğitimi => Konuyu başlatan: Lokman Gökçe - Ağustos 17, 2015, 02:06:12 öö
-
Soru (L. Gökçe):
İki özel çözümü $e^{2x}$ ve $xe^{2x}$ olan 2. mertebeden diferansiyel denklem aşağıdakilerden hangisidir?
$
\textbf{a)}\ y'' + 4y' + 4y = 0
\qquad\textbf{b)}\ y'' - 4y' + 4y = 0
\qquad\textbf{c)}\ y'' + xy'= 0
\qquad\textbf{d)}\ y'' + 4y = 0
\qquad\textbf{e)}\ y'' - 2y' = 0
$
-
Yanıt: $\boxed{B}$
Çözüm 1: Sabit katsayılı lineer diferansiyel denklemler teorisinin iyi bilinen bir teoremini kullanacağız
Teorem: $a \neq 0$, $b$, $c$ gerçel sabitler olmak üzere $ay''+by'+cy=0$ diferansiyel denklemi verilsin. $ar^2+br+c=0$ karakteristik denklemini göz önüne alalım. Bu denklemin kökleri $r_1$ ve $r_2$ olsun.
1) $r_1 \neq r_2$ ise diferansiyel denklemin genel çözümü $y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}$ dir.
2) $r_1 = r_2$ ise diferansiyel denklemin genel çözümü $y=C_1e^{r_1x}+C_2xe^{r_2x}$ dir.
Bu teoreme göre, verilen lineer bağımsız çözümler $e^{2x}$ ve $xe^{2x}$ olduğundan $r_1=r_2=2$ dir. Dolayısıyla karakteristik denklem $(r-2)^2=r^2-4r+4=0$ olup diferansiyel denklem $y'' -4y' +4y=0$ bulunur.
Çözüm 2: Seçenekler denenirse $y=xe^{2x}$ için $y'=e^{2x} + 2xe^{2x}$, $y''=4e^{2x} +4xe^{2x} $ olup bu ifadelerin $y'' -4y' +4y=0$ denklemini sağladığı görülebilir.
-
Çözüm 3: $e^{2x}$ ve $xe^{2x}$, $x$ değişkenine göre lineer bağımsız fonksiyonlar olduğundan genel çözümü $y=C_1e^{2x} + C_2xe^{2x}$ olan diferansiyel denklemi kurmalıyız. Birinci ve ikinci türevleri hesaplarsak
$y'=2C_1e^{2x} + C_2e^{2x} + 2C_2xe^{2x} = (2C_1 + C_2)e^{2x} + 2C_2xe^{2x} $,
$y''= 2(2C_1 + C_2)e^{2x} + 2C_2e^{2x} + 4C_2xe^{2x} = 4(C_1 + C_2)e^{2x} + 4C_2xe^{2x}$
bulunur. Bu eşitliklerden $C_1$ ve $C_2$ yok edilirse $y'' -4y' + 4y = 0$ diferansiyel denklemine ulaşırız.