2019 Ulusal Ortaokul Matematik Olimpiyatı Yaz Kampı Sınavı Soru 4

[Lokman Gökçe]

$$ \begin{array}{lcr} a^4 + b^4 + c^4 + d^4 & = & a+ b + c + d \\ a^2 + b^2 + c^2 + d^2 & = &  4abcd \end{array} $$
eşitliklerini sağlayan tüm $(a,b,c,d)$ pozitif gerçel sayı dörtlülerini bulunuz.

[Lokman Gökçe]

Çözüm (Lokman GÖKÇE): $a+b+c+d=x$ dersek verilen ilk denklemden $ a^4+b^4+c^4+d^4=x$ olur. Kuvvet ortalamaları eşitsizliğine göre
$$\sqrt[4]{\dfrac{a^4+b^4+c^4+d^4}{4}}\geq \dfrac{a+b+c+d}{4}$$
olup eşitsizliğin her iki tarafının dördüncü kuvveti alınırsa $x\leq 4$ elde edilir.

$abcd=y$ dersek verilen ikinci denklemden $a^2+b^2+c^2+d^2=4y$ olur. Kuvvet ortalamaları eşitsizliğine göre
$$\sqrt{\dfrac{a^2+b^2+c^2+d^2}{4}}\geq \sqrt[4]{abcd}$$
olup eşitsizliğin her iki tarafının dördüncü kuvveti alınırsa $y\geq 1$ elde edilir.

Ayrıca aritmetik-geometrik ortalama eşitsizliğinden
$$ 1\geq \dfrac{a+b+c+d}{4} \geq \sqrt[4]{abcd}\geq 1 $$
elde edilir. Eşitlik durumunu sağlanmaktadır. Eşitlik durumu ancak ve ancak $a=b=c=d=1$ iken vardır. Dolayısıyla verilen denklem sisteminin tek çözümü $(a,b,c,d)=(1,1,1,1)$ sıralı dörtlüsüdür.