Kare Kalan ve Legendre Sembolü kullanarak yaptığım çözüm:
$p=2$ ve $p=3$ ün istenen şartı sağladığı kolayca görülebilir. $p\geq5$ kabul edelim.
$p! + p = a^2$ eşitliğini $p$ den küçük herhangi bir $n$ sayısı modunda inceleyelim. $p!$ sayısı $p$ den küçük tüm sayılara bölündüğünden, $p \equiv a^2 \pmod n$ bulunur. $a^2$ sayısı tamkare olduğundan, $p$ sayısı kendinden küçük tüm modlarda kare kalandır.
$p$ ve $p$ den küçük herhangi bir $q$ tek asal sayısı için Kuadratik Karşılıklılık Yasası gereği,
$\left(\dfrac{p}{q}\right)\left(\dfrac{q}{p}\right)=(-1)^{\dfrac{p-1}{2}\cdot\dfrac{q-1}{2}}$ dir. Burada kesirli parantezler Legendre Sembolü nü ifade etmektedir.
Öte yandan, $p$ nin $4$ modunda kare kalan olduğunu biliyoruz. Yani $p=4k+1$ formundadır. Dolayısıyla $(-1)^{\dfrac{p-1}{2}\cdot\dfrac{q-1}{2}} = (-1)^{\dfrac{4k}{2}\cdot\dfrac{q-1}{2}} = \left((-1)^\dfrac{q-1}{2}\right)^{2k}=1$ dir. Ayrıca $\left(\dfrac{p}{q}\right)=1$ olduğunu da biliyoruz. Bunlar Kuadratik Karşılıklılık Yasası nda yerine yazılırsa $\left(\dfrac{q}{p}\right)=1$ olduğu görülür. Yani $q$ sayısı, $p$ modunda kare kalandır.
Yani, $p$ den küçük tüm tek asal sayılar $p$ modunda kare kalandır.
Yani, $p$ den küçük tüm tek sayılar $p$ modunda kare kalandır. Çünkü iki sayı kare kalansa, bunların çarpımları da kare kalandır.
$p$ den küçük tek sayıların sayısı $\dfrac{p-1}{2}$ dir. Öte yandan, $p$ modunda tam olarak $\dfrac{p-1}{2}$ kare kalan bulunduğunu biliyoruz. Bu, başka kare kalan olmaması gerektiği anlamına gelir. Ancak $4$ sayısı tamkare olduğu için, her zaman $p$ modunda kare kalandır. Çelişki.
Dolayısıyla istenen şartı sağlayan $p$ asalları yalnızca $2$ ve $3$ tür.
