Tübitak Lise 1. Aşama 2015 Soru 27

[ERhan ERdoğan]

$x^{23}-2015^{2015}x+23=c $ denkleminin en az üç farklı gerçel çözümünün bulunmasını sağlayan tüm $c$ tam sayılarının aritmetik ortalaması kaçtır?

$
\textbf{a)}\ -46
\qquad\textbf{b)}\ 0
\qquad\textbf{c)}\ 403
\qquad\textbf{d)}\ 2015
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[Eray]

Yanıt: $\boxed{E}$

$k=c-23$ olsun.

Denklem, $x^{23} - 2015^{2015}x - k = 0$ dır.

İddia 1: Denklemin en fazla üç gerçel kökü olabilir.
Bu iddianın doğruluğu, Descartes'in İşaret Değişim Kuralı yardımıyla veya $f(x)=x^{23}$ ve $g(x)=2015^{2015}x + k$ fonksiyonlarının grafikleri göz önüne alınarak görülebilir.

O halde denklemin tam olarak üç farklı gerçel kökünün bulunmasını sağlayan $c$ tam sayılarının aritmetik ortasını arıyoruz.

İddia 2: Bir $k=k_0$ için denklemin $3$ farklı gerçel kökü varsa, $k=-k_0$ için de $3$ farklı gerçel kökü vardır.
İspat: $x_0$ sayısı $x^{23} - 2015^{2015}x - k_0 = 0$ denkleminin köküyse, $-x_0$ sayısı $x^{23} - 2015^{2015}x + k_0 = 0$ denkleminin köküdür. Çünkü $x$ yerine $-x$ yazıldığında önceki denklem elde ediliyor. Yani $k_0$ yerine $-k_0$ yazıldığında, denklemin köklerinin negatifleri yeni denklemin kökleri olur. Dolayısıyla kök sayısı korunur.

O halde, $-k = -c + 23 = (46-c) - 23 $ olduğundan, bir $c=c_0$ tamsayısı için denklemin üç farklı gerçel kökü varsa, $c=46 - c_0$ tamsayısı için de üç farklı gerçel kökü vardır.

Şartı sağlayan $c$ tam sayıları $c_1, c_2, \cdots, c_n, 46-c_1, 46-c_2, \cdots 46-c_n$ olsun. $c_i$ sayıları arasında $23$ varsa, $23$ ü iki kez yazdık demektir. Ancak olsa da olmasa bu sayıların aritmetik ortalaması $23$ tür.

[geo]

Cevap: Hiçbiri.
Bu şartı sağlayan $c$ tam sayılarının bir $k$ pozitif reel sabit sayısı için $(23-k, 23+k)$ aralığındaki sayılar olması gerektiği görülür. Türev incelemesi ile $k$ yi hesaplayabiliriz, ama bu sorunun cevabını bulmak için buna gerek yok. $k$ ne olursa olsun $(23-k, 23+k)$ aralığındaki tam sayıların aritmetik ortalaması $23$ tür.