Anne Teoremi :)

[Lokman Gökçe]

Aşağıdaki teorem Fransız matematikçi Pierre-Léon Anne (1806–1850) tarafından bulunmuştur.


Anne Teoremi'nin 1. Kısmı: $ABCD$ dışbükey dörtgeninde köşegenlerin orta noktaları $L$ ve $K$ olsun. $LK$ doğrusu üzerinden ve dörtgenin içinde kalacak şekilde keyfi bir $P$ noktası için,
$$ \text{Alan}(ABP) + \text{Alan}(CDP) = \text{Alan}(BCP) + \text{Alan}(DAP) $$
eşitliği geçerlidir.

[geo]

Orta noktaların alan özelliklerinden $[APL] = [PLC]$, $[PLD] = | [DPK] - [DLK] |  = | [BPK] - [BLK] | = [PLB]$.

Aşağıdaki eşitlikleri taraf tarafa toplarsak;
$[APB] + [PLB] = [ABL] + [APL]$
$[DPC] + [PLC] = [DLC] + [PLD]$

$[APB] + [DPC] = [ABL] + [DLC] = \dfrac {[ACD] +[ABC] }{2} = \dfrac {[ABCD]}{2}$. $\blacksquare$

Söz konusu problemin daha kuvvetli hali:
$ABCD$ dörtgeninde $[ABP] + [CDP] = \dfrac {[ABCD]}2$ şartını sağlayan noktaların geometrik yeri $[AC]$ ve $[BD]$ köşegenlerinin orta noktalarını birleştiren doğrudur.

[Lokman Gökçe]

İspat: $LK$ doğrusunun $ABCD$ dörtgeni içinde kalan parçası $[EF]$ olsun. $|AL| = |LC|$ olduğundan $KL$ doğrusuna $A$ ve $C$ noktalarından inilen dikmelerin uzunlukları eşittir. Bu dikme uzunluklarını $x$ ile gösterelim. Benzer şekilde, $B$ ve $D$ noktalarından $KL$ doğrusuna inilen inilen eşit dikme uzunluklarını da $y$ ile gösterelim. $\text{Alan}(BCP) + \text{Alan}(DAP) = \dfrac{1}{2}(x+y)|EF|$ olur. $x$, $y$ ve $|EF|$ uzunlukları sabit olduğundan bu alanlar toplamı da $ABCD$ dörtgeni için bir sabittir. Yani, benzer işlemlerle $ \text{Alan}(BCL) + \text{Alan}(DAL) \dfrac{1}{2}(x+y)|EF|$ bulunabilir. Dolayısıyla $P=L$ alarak,
$$ \text{Alan}(BCL) + \text{Alan}(DAL) = \text{Alan}(ABL) + \text{Alan}(CDL) = \dfrac{1}{2}\text{Alan}(ABCD)$$
olur. Sonuç olarak, $\text{Alan}(ABP) + \text{Alan}(CDP) = \text{Alan}(BCP) + \text{Alan}(DAP) = \dfrac{1}{2}\text{Alan}(ABCD)$ elde edilir.

[Lokman Gökçe]

Geo hocamızın bahsettiği, geometrik yer problemi yeniden ifade edelim. Aslında, Léon Anne’in teoremi bu daha zorlu olan biçimidir.


Anne Teoremi'nin 2. Kısmı: $ABCD$ paralelkenar olmayan bir dış bükey dörtgen, $[AC]$ ve $[BD]$ köşegenlerinin orta noktaları $K, L$ olsun.

$$\text{Alan}(ABP) + \text{Alan}(CDP) = \text{Alan}(BCP) + \text{Alan}(DAP) = \dfrac{1}{2}\text{Alan}(ABCD)$$

eşitliğini sağlayan ve dörtgenin iç bölgesinde olan $P$ noktalarının geometrik yeri, $KL$ doğrusunun dörtgen içinde kalan kısmıdır.



Notlar:

• $KL$ doğrusu, $ABCD$ dörtgeninin Gauss doğrusu (veya Newton-Gauss doğrusu) olarak isimlendirilir.
• $ABCD$ paralelkenar iken $K=L$ çakışması olduğundan Gauss doğrusu tanımlanamaz. Bu halde $ABCD$ paralelkenarının içindeki her $P$ noktası için verilen alan eşitliği sağlanmaktadır.
• Newton-Gauss doğrusunun $ABCD$ dörtgeninin dışında kalan kısımlarını elde etmek için alan eşitliği koşulunda $\text{Alan}(ABP) - \text{Alan}(CDP) $ veya $ - \text{Alan}(BCP) + \text{Alan}(DAP)$ gibi bazı işaret değişiklikleri gerekecektir.

[Lokman Gökçe]

Anne Teoreminin 2. Kısmının İspatı: $ABCD$ bir paralelkenar olmadığından birbirine paralel olmayan iki karşıt kenar vardır. Bunların $AB$ ve $CD$ olduğunu varsayalım ve kesişimleri $X$ noktası olsun.   $ABCD$ dörtgeninin içinde,
$$ \text{Alan}(ABP) + \text{Alan}(CDP) = \text{Alan}(BCP) + \text{Alan}(DAP) = \dfrac{1}{2}\text{Alan}(ABCD)$$
eşitliğini sağlayan $P$ noktasını göz önüne alalım.

$DX$ ve $AX$ üzerinden, $|XY| = |CD|$ ve $|XZ| = |AB|$ olacak şekilde $Y, Z$ noktaları alalım. Bu halde,

\begin{align*}
\dfrac{1}{2}\text{Alan}(ABCD)
&= \text{Alan}(BCP) + \text{Alan}(DAP) \\
&= \text{Alan}(ABP) + \text{Alan}(CDP) \\
&= \text{Alan}(XZP) + \text{Alan}(XYP) \\
&= \text{Alan}(PXYZ) \\
&= \text{Alan}(XZP) + \text{Alan}(XYP) \\
&= \text{Alan}(PYZ) + \text{Alan}(XYZ)
\end{align*}

olur. Öte yandan $\text{Alan}(XYZ)$ bir sabit olduğundan $\text{Alan}(PYZ) = \dfrac{1}{2}\text{Alan}(ABCD) - \text{Alan}(XYZ)$ de bir sabittir. O halde $PYZ$ üçgeninin $YZ$ tabanına inilen yüksekliği sabit olmalıdır. Yani $P$ noktalarının geometrik yeri $YZ$'ye paralel bir doğrudur. Öte yandan, Anne teoreminin yukarıda ispatladığımız ilk kısmından dolayı $YZ$'ye paralel nokta bu doğru, köşegenlerin orta noktaları olan $K$ ve $L$ noktalarından da geçmelidir. Yani $P$ noktası Newton-Gauss doğrusu üzerinde bulunur.

Kaynak: Andreescu ve diğerleri, 2014.

[geo]

Aslında $KL$ doğrusu üzerindeki her nokta verilen özelliği sağlıyor.
$P$, üçgenin karşılıklı kenarlarının uzantılarının belirlediği bölgede ise yukarıda ifade ettigimiz şekilde formülüze ediliyor. $P$ bu bölgenin dışına çıktığında söz konusu üçgenin alanını negatif aldığımızda yine sağlıyor.