AI, AJ, AK

[geo]

$ABC$ dik üçgeninde hipotenüse ait yükseklik $AH$ dir. $ABC$, $ABH$, $ACH$ üçgenlerinin iç teğet çemberlerinin merkezi sırasıyla $I, J, K$ dir. $AJ=8\sqrt 2$, $AK=12$ ise $AI$ nedir?

[Seyit Çetin]

AI=?

[geo]

$\angle JAK = 45^\circ$. $\angle AJB = 90^\circ + \dfrac{\angle AHB}{2}=135^\circ$, $\angle AKC = 135^\circ$.

$AJK$ üçgeninde $I$ diklik merkezidir.

Bu aşamadan sonra basit özel üçgen özelliklerinden sonuca gidebiliriz. Farklı olarak diklik merkezinin köşeye olan uzaklığı ile bildiklerimizi uygulayalım. $AJK$ nın çevrel merkezi $O$ ve $JK$ nın orta noktası $M$ olsun.  $AJK$ üçgenininde $AI = 2\cdot OM = 2\cdot \dfrac{JK}{2} \cdot \cot \angle JOM=JK\cdot \cot \angle JAK = JK \cdot \cot 45^\circ = JK$ dir.
$AJ=k$, $AK=j$ dersek $AI^2=j^2+k^2-2jk\dfrac{1}{\sqrt 2}$ elde ederiz.
Özel olarak, $AI^2=12^2+(8\sqrt 2)^2-12\cdot 8\sqrt 2 \cdot \sqrt 2 = 80 \Longrightarrow AI = 4\sqrt 5$.