Bir çemberdeşlik problemi, çember üstünde 6 nokta

[ygzgndgn]

Çembersel bir $ABCDEF$ altıgeninde $AB$ ve $CF$ paraleldir. $AD,BE,CF$ köşegenleri bir $S$ noktasında kesişmektedir, $DE$ ve $CF$ doğruları ise bir $M$ noktasında kesişiyor. $S$ noktasının $M$ noktasına göre yansıması $N$ olsun. $ADF$ üçgeninin çevrel çemberinin, $CF$ nin orta noktasından geçtiğini gösteriniz.

[ygzgndgn]

$CF$ nin orta noktası $K$ olsun. Kilit iddiamız şudur.

İddia. $MS^2=MC\cdot MF.$
İspat. Açı yazarsak
$$\angle{FSE}=\angle{ABS}=\angle{ABE}=\angle{ADE}=\angle{SDE}$$ gelir. Buradan $MS$ doğrusunun $DSE$ üçgeninin çevrel çemberine teğet olduğunu buluruz. Kuvvet yazarsak $$MS^2=MD\cdot ME=MC\cdot MF$$ buluruz.

Buradan soruyu bitirelim. $FK=x,KS=y,CM=z$ olsun. İddiayı bu değişkenlere göre yazarsak
$$(x-y+z)^2=z(2x+z)\Rightarrow (x-y)^2+2z(x-y)+z^2=z(2x+z)\Rightarrow x^2-2xy+y^2=2yz\Rightarrow 2y(x-y+z)=(x-y)(x+y)$$
elde ederiz. Bunu kenar şeklinde yazarsak ifadenin $KS\cdot SN=FS\cdot SC=AS\cdot SD$ eşitliğine denk olduğunu görürüz. Bu ise $S$ deki kuvvetten ötürü $A,K,D,N$ noktalarının çemberdeş olduğunu gösterir. $\blacksquare$