2008 Ulusal İlköğretim Matematik Olimpiyatı Kış Kampı Sınavı Soru 2

[geo]

$p$ ve $q$ asal sayılar olmak üzere $$
p+2 q=p^{q-1}
$$ denkleminin tüm çözümlerini bulun.

[Metin Can Aydemir]

$q=2$ ise çözüm gelmeyeceği barizdir. $q>2$ için $$2q=p^{q-1}-p=p(p^{q-2}-1)\implies p=2\quad\text{veya}\quad p=q$$ Eğer $p=q$ ise $$3p=p^{p-1}\implies p=3$$ olur.

Eğer $p=2$ ise $$2+2q=2^{q-1}\implies q=2^{q-2}-1$$ Sağ taraf $q$'ya bağlı bir üstel fonksiyon, sol tarafsa lineer bir fonksiyondur. Belli bir $q$ değerinden sonra üstel fonksiyon çok hızlı artacağından, sağ taraf daha büyük olacaktır. $q\geq 5$ için sağ taraf daha büyüktür. Dolayısıyla $q\leq 3$ olmalıdır. Ancak $q=3$ denklemi sağlamaz. Dolayısıyla tek çözüm $(p,q)=(3,3)$'dür.