Çözüm [Lokman GÖKÇE]: İspatlanması istenen eşitsizlik $ x+ 4y + 4z \geq 3\sqrt{xy} + 3\sqrt[3]{xyz}$ eşitsizliğine denktir. Aritmetik-geometrik ortalama eşitsizliğinden,
$$ \dfrac{3}{4}x + 3y \geq 3\sqrt{xy}$$
$$ \dfrac{1}{4}x + y + 4z\geq 3\sqrt[3]{xyz}$$
olup taraf tarafa toplarsak, $ x+ 4y + 4z \geq 3\sqrt{xy} + 3\sqrt[3]{xyz}$ elde ederiz. Eşitlik durumu $x=4y=16z$ iken sağlanır.
Çözümü tamamladık ama bu eşitsizlikleri nasıl düşündüğümüzü açıklamak kesinlikle daha öğretici olacaktır. $x=ax + (1-a)x$, $y=by + (4-b)y$ biçiminde yazalım. Aritmetik-geometrik ortalama eşitsizliğinden
$$ ax + by \geq 2\sqrt{abxy}$$
$$(1-a)x + (4-b)y + 4 z \geq 3\sqrt[3]{4(1-a)(4-b)xyz} $$
olur. Eğer,
$$ 2\sqrt{ab}=3 $$
$$ \sqrt[3]{4(1-a)(4-b)} = 1 $$
olacak şekilde $0<a<1$ ve $0<b<4$ sayıları bulabilirsek problem çözülecektir. Bu denklem sistemini çözersek $a=\dfrac{3}{4}$, $b=3$ bulunur. Artık eşitsizliklerdeki $x$ ve $y$ nin katsayılarını nasıl parçalayacağımızı biliyoruz.
