$a!+b,b!+a\geq 2$ olduğundan iki ifade de $5$'in $1$'den büyük bir kuvvetine eşit olmalıdır. $a\geq 5$ ise $a!$ sayısı $5$ ile bölüneceğinden $b$ de $5$'in katı olmalıdır. $b\geq 5$ olacağından hem $a$ hem de $b$, $5$'in katıdır. Benzer şekilde $b\geq 5$ ise de aynı sonuç elde edilir. Yani $a$ ve $b$'nin ikisi birden $5$'den büyük eşit ve $5$'in katı, veya ikisi birden $5$'den küçüktür. Genelliği bozmadan $a\geq b$ olsun.
$a,b\geq 5$ ise $K\geq 1$ tamsayısı için $a!+b=b!\cdot K+b$ olarak yazabiliriz. $$b(K(b-1)!+1)=5^k$$ olur. Eğer $b>5$ ise $(b-1)!\equiv 0\pmod{5}$ olacağından $5\not\mid K(b-1)!+1$ olacaktır, yani $K(b-1)!+1=1$ olmalıdır ama bu mümkün değildir. Dolayısıyla $b=5$'dir. Yerine yazarsak, $120+a$ ve $a!+5$'i $5$'in kuvveti yapmalıyız. $a!+5\geq 5!+5=125=5^3$ olduğundan $k\geq 3$ için $$a!+5=5^k\implies a!=5^k-5$$ olacaktır. $a!$ sayısı $25$'e bölünmeyecektir. Dolayısıyla $a=5,6,7,8,9$ olabilir. $120+a$ da $5$'in kuvveti olduğundan $a=5$ olmalıdır. Buradan $(a,b)=(5,5)$ elde edilir.
$a,b\leq 4$ ise $a!+b, b!+a\leq 24+4=28$ olduğundan $a!+b$ ve $b!+a$ sadece $5$ veya $25$'e eşit olabilir. Denenebilecek kadar az ihtimal olduğundan elle deneyebiliriz ve sadece $(a,b)=(4,1)$ çözümü bulunur.
Tüm çözümler $\boxed{(a,b)=(1,4),(4,1),(5,5)}$ bulunur.
