2004 Ulusal Matematik Olimpiyatı Yaz Kampı Sınavı Soru 4

[matematikolimpiyati]

$n>3$ tam sayısı için $x_1,x_2,...,x_n$ pozitif reel sayılarının çarpımı $1$'dir.
$$\dfrac{1}{1+x_1+x_1x_2}+\dfrac{1}{1+x_2+x_2x_3}+ \ldots + \dfrac{1}{1+x_n+x_nx_1}>1$$
olduğunu gösteriniz.

[eren_k]

$x_1x_2\cdots x_n=1$ kosulundan oturu oyle $a_1,\dots,a_n>0$ vardir ki $x_1=a_2/a_1,x_2=a_3/a_2,\dots,x_n=a_1/a_n$. Bunu kullanarak,
\[
\frac{1}{1+x_i+x_ix_{i+1}} = \frac{1}{1+\frac{a_{i+1}}{a_i} + \frac{a_{i+2}}{a_i}} = \frac{a_i}{a_i+a_{i+1}+a_{i+2}}
\]
elde edilir ($a_{n+1}=a_1,a_{n+2}=a_2$ ve $a_{n+3}=a_3$). $n>3$ oldugu icin $a_i+a_{i+1}+a_{i+2}<a_1+\cdots+a_n$ dir. Bunu kullanarak,
\[
\sum_{1\le i\le n}\frac{a_i}{a_i+a_{i+1}+a_{i+2}} > \sum_{1\le i\le n}\frac{a_i}{\sum_i a_i} =1
\]
elde edilir.