Weierstrass Eşitsizliği {Çözüldü}

[Lokman Gökçe]

Problem[Karl Theodor Wilhelm Weierstrass]: $n\geq 2$ tam sayı ve $a_1, a_2, \dots , a_n$ pozitif gerçel sayılar olmak üzere

$$ (1+a_1)(1+a_2)\cdots (1 + a_n) > 1 + (a_1 + a_2 + \cdots + a_n) $$

eşitsizliğini ispatlayınız.

[Lokman Gökçe]

Çözüm: Basitçe sol taraftaki tüm terimlerin sağ tarafta da olduğunu görüyoruz. Ayrıca sol tarafta daha fazla terim vardır.

Örneğin $n=2$ başlangıç durumunda sol tarafta $(1+ a_1)(1 + a_2) = 1 + a_1 + a_2 + a_1a_2 $ olup sağ taraftaki $1 + a_1 + a_2 $ ifadesinden büyüktür. Çünkü $a_1a_2>0$ dır.

Genel olarak sol tarafta $2^n$ tane pozitif terim vardır. Bunlardan bazıları $1$ sabit terimi, $a_1, a_2, \dots , a_n $ terimleridir. Elbette sol tarafta bu terimlerin birbirleriyle çarpımları da vardır. $a_1a_2, a_1a_3, \dots, a_{n-1}a_n$ ikili çarpımları veya $a_1a_2\cdots a_n$ çarpımı gibi. Sağ tarafta ise $n+1$ tane terim vardır. Dolayısıyla eşitsizliğin sol tarafı sağ tarafından büyük olur.


Bu eşitsizliği biraz daha kuvvetli biçimde yazmak istersek: her $n\geq 3$ tam sayısı ve $a_1, a_2, \dots , a_n$ pozitif gerçel sayıları için

$$ (1+ a_1)(1 + a_2)\cdots (1 + a_n) > 1 + (a_1 + a_2 + \cdots + a_n) + a_1 a_2 \cdots a_n $$

olduğunu söyleyebiliriz. ($n=2$ halinde ise eşitlik durumu vardır.)

[Eray]

Weierstrass çarpım eşitsizliği (Weierstrass product inequality) olarak bilinen diğer bir eşitsizlik:

$0\le a_1,\ldots , a_n\le1$ olmak üzere
$$(1-a_1)(1-a_2)\cdots (1-a_n) \ge 1-(a_1+a_2+\cdots +a_n)$$
olduğunu gösteriniz.

[Metin Can Aydemir]

$(1-a_i)$'li eşitsizlik için terimlerden herhangi birinin $1$ olması halinde eşitsizliğin sağlanacağı barizdir. Dolayısıyla $a_i\in [0,1)$ için göstermemiz yeterlidir.

$n=1$ için eşitsizlik doğrudur hatta eşitlik haline gelir. $n=1,2,\dots, k$ için eşitsizlik sağlanıyor olsun. $$(1-a_1)(1-a_2)\cdots(1-a_{k+1}) \geq \left[1-(a_1+a_2+\ldots+a_k)\right] (1-a_{k+1})=1-(a_1+a_2+\cdots+a_{k+1})+a_{k+1}(a_1+a_2+\ldots+a_k)\geq 1-(a_1+a_2+\cdots+a_{k+1})$$ olur. Yani eşitsizlik $n=k+1$ için de doğrudur. Tümevarımdan her $n$ için doğru olduğunu söyleyebiliriz.

Not: Fark etmeyenler için $1$'i dahil etmememin sebebi $1-a_{k+1}>0$ olmasıdır.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

$(1-x)(1-y)=1-x-y+xy\leq 1-x-y$  olduğundan
$$(1-a_1)(1-a_2)\cdots (1-a_n)\leq (1-a_1-a_2)(1-a_3)\cdots (1-a_n)\leq \cdots\leq 1-a_1-a_2-\cdots-a_n$$
olur ve eşitsizlik çalışır.