Öncelikle istenen koşulu sağlayan bir sayı varsa bu sayının son iki basamağının $00,20,40,60$ ya da $80$ olması gerektiğini not edelim.
Şimdi herhangi bir sayıyı $\pmod {101}$ de inceleyelim.$0\le a_i \le9$ olmak üzere; $n+1$ basamaklı,
$$x=a_n10^n+a_{n-1}10^{n-1}+a_{n-2}10^{n-2}+ . . . +a_110+a_0$$
sayısını göz önüne alalım.
\begin{equation*} \begin{cases} 10\equiv10\pmod{101} \\ 10^2\equiv-1\pmod{101}\\ 10^3\equiv-10\pmod{101} \\ 10^4\equiv1\pmod{101} \end{cases}, . . . \end{equation*}
şeklinde devam edeceğinden;
$$x\equiv a_n10^n+a_{n-1}10^{n-1}+a_{n-2}10^{n-2}+ . . . +a_110+a_0\pmod{101}$$
$$x\equiv a_0+(10a_1-a_2-10a_3+a_4)+(10a_5-a_6-10a_7+a_8)+(10a_9-a_{10}-10a_{11}+a_{12})+ . . .$$
olur. Bu bize $101$'e bölünebilme kuralını verir.Örneğin; $12.812.254$ için,
$$4+(10.5-2-10.2+1)+(10.8-2-10.1)=4+(29)+(68)=101$$
olduğundan $12.812.254$, $\ 101$'e tam bölünür.
Bu kuraldan yararlanarak istenen koşulu sağlayan $10$ basamaklı bir sayı bulalım. Basit bir deneme-yanılma ile $5.971.384.620$ sayısının hem $0,1,2, . . .,9$ rakamlarının her birini $1$ kez içerdiği hem de $2020$'ye bölündüğü rahatlıkla görülür.
Şimdi de $k\in\mathbb{N}$ ve $n=2k+1$ olmak üzere $10n$ basamaklı sayıların $101$e bölümünden kalanlarını inceleyelim.$0\le a_i \le9$ olmak üzere; $n+1$ basamaklı,
$$x=a_{10n}10^{10n}+a_{10n-1}10^{10n-1}+a_{10n-2}10^{10n-2}+ \cdots +a_110+a_0$$
sayısı için,
$$x\equiv a_0+[10a_1-a_2-10a_3+a_4+10a_5-a_6-10a_7+a_8+10a_9]+[-a_{10}-10a_{11}+a_{12}+10a_{13}+a_{14}-10a_{15}+a_{16}+ \cdots
\\ +10a_{10n-4}-a_{10n-3}-10a_{10n-2}+a_{10n-1}+10a_{10n}]\pmod {101}$$
olur.
Yukarıda görüleceği üzere sondan $11.$ basamaktan $10n.$ basamağa kadar ${-10,-1,1,10}$ sayılarının her birini eşit sayıda basamak ile çarptık. Bundan ve kalanların $-1,1$ ve $-10,10$ şeklinde toplamaya göre ters olmasından da yararlanarak $101$'e bölünebilme kuralını uyguladığımızda $0,1,2, \dots ,9$ rakamalarını eşit sayıda kullanarak ilk $10(n-1)$ basamak için kalanlar toplamının $0$ olmasını sağlayabiliriz. (Örneğin $10$ ile çarpacağımız basamağa da,$-10$ ile çarpacağımız basamağa da $a$ yazabiliriz). Ayrıca daha önce bulduğumuz ve istenen koşulu sağlayan $10$ basamaklı $5.971.384.620$ sayısını, sayının son $10$ basamağına doğrudan yerleştirdiğimizde kalanlar toplamı yine $0$ olur yani sayımız $101$'e bölünür ve yine $0,1,2, \dots ,9$ rakamlarının her birini eşit sayıda kullanmış oluruz. Böylece basamakları arasında eşit sayıda $0,1,2,…,9$ bulunan ve $2020$ ile tam bölünen sonsuz tane sayının var olduğu kanıtlanmıştır.
Bu koşulu sağlayan $30$ basamaklı bir sayı da $101.023.234.545.676.789.895.971.384.620$'dir.
