2020 Ulusal Ortaokul Matematik Olimpiyatı Yaz Kampı Sınavı Soru 1

[Lokman Gökçe]

Bir $ABC$ üçgeninin iç teğet çemberi $[AC]$ kenarına $D$ noktasında teğettir. $D$ noktasından geçen bir çember $BA$ doğrusuna $A$, $BC$ doğrusuna ise bir $K$ noktasında teğettir. ($C$ noktası $[BK]$ üzerindedir). Buna göre, $|AD|/|DC|$ oranını hesaplayınız.

[Lokman Gökçe]

Çözüm: İç teğet çember $[AB]$, $[BC]$ kenarlarına sırasıyla $F,E$ noktalarında değsin. Eşit uzunluklu teğet parçalarını kullanarak $|AD|=|AF|=x$, $|DC|=|CE|=y$ ve $|BE|=|BF|=z$ diyelim. $|BK|=|AB|=x+z$ olduğundan $|KC|=x-y$ bulunur.

$C$ noktasının çembere göre kuvvetinden: $|CK|^2=|CD|\cdot |CA|$ olup $(x-y)^2= y(x+y)$ yazılır. $x^2-2xy+y^2=y^2+xy$ olup $x^2=3xy$ bulunur. Buradan $\dfrac{x}{y}=3$ elde edilir.