Crux 1975 Problem 7 - Polinom {çözüldü}

[Lokman Gökçe]

1975 te yayınlanmaya başlanan Crux Dergisinin ilk sayısından bir problem:

Problem 7: $P(x)+1$, $(x-1)^3$ ile tam bölünecek ve $P(x)-1$, $(x+1)^3$ ile tam bölünecek biçimde beşinci dereceden bir $P(x)$ polinomu bulunuz.

[Lokman Gökçe]

Çözüm:
$A$, $B$, $C$, $D$ ikinci dereceden polinomlar olmak üzere $P(x)+1=(x-1)^3\cdot A(x)$, $P(x)-1=(x+1)^3\cdot B(x)$ yazılabilir. $P(1)=-1$, $P(-1)=1$ dir. Türev alırsak
$$P'(x)=(x-1)^2 \cdot C(x)=(x+1)^2\cdot D(x)$$
olur. $P'$ türev polinomunun derecesi $4$ olduğundan bir $a\neq 0$ gerçel sayısı için için $P'(x)=a(x-1)^2 (x+1)^2=a(x^4- 2x^2+1)$ olur. İntegral alırsak
$$ P(x)=a\left( \dfrac{x^5}{5} - \dfrac{2x^3}{3}+x + c\right) $$ olur.
$P(1)=-1$, $P(-1)=1$ eşitlikleri yardımıyla $a=-\dfrac{15}{8}$, $c=0$ bulunur. Böylece aranan özellikteki tek polinom
$$  P(x)=-\dfrac{15}{8}\left( \dfrac{x^5}{5} - \dfrac{2x^3}{3}+x \right) = -\dfrac{3}{8}x^5 +\dfrac{5}{4}x^3 -\dfrac{15}{8}x$$
olur.