Uluslararası Matematik Olimpiyatı 2017 Soru 4

[Eray]

Bir $\Omega$ çemberi üzerinde birbirinden farklı $R$ ve $S$ noktaları $RS$ çap olmayacak şekilde alınıyor. $\Omega$ ya $R$ de teğet olan doğru $\ell$ olsun. $T$ noktası, $[RT]$ doğru parçasının orta noktası $S$ olacak şekilde alınıyor. $\Omega$ nın kısa $RS$ yayı üzerinde bir $J$ noktası, $JST$ üçgeninin çevrel çemberi $\Gamma$ ile $\ell$ doğrusu iki farklı noktada kesişecek şekilde alınıyor. $\Gamma$ ve $\ell$ in kesişim noktalarının $R$ ye daha yakın olanı $A$ olsun. $AJ$ doğrusu $\Omega$ yı ikinci kez $K$ da kessin. $KT$ nin $\Gamma$ ya teğet olduğunu gösteriniz.

[Dogukan6336]

Öncelikle $RK  //  AT$  olduğunu gösterelim. $JSTA$ kirişler dörtgeni olduğundan $\angle STA = \alpha$ dersek $\angle KJS = \alpha$ olur. Aynı yayı gören çevre açılar eşit olduğundan $\angle KRS= \alpha$ olur. Sonuç olarak $RK  //  AT$

Şimdi $PT // RA$ olacak biçimde bir $P$ noktası alalım. Bu durumda $PTAR$ paralelkenar olur. $S$ noktasında köşegenler kesişeceğinden $A,S,P$ noktaları doğrusaldır ve paralelkenarın diğer köşegenidir.

$\angle RKS = \beta$ diyecek olursak teğet kiriş açıdan $\angle SRA = \beta$ olur. Şekil paralelkenar olduğundan $\angle PTR = \beta$ olur. $\angle PKS = 180 - \beta$ olduğundan $PKST$ çemberseldir. Bu durumda $\angle KTS = \theta = \angle KPS = \angle PAT$ olacaktır. Bu ise ispatı bitirir.