Uluslararası Matematik Olimpiyatı 2016 Soru 1

[ArtOfMathSolving]

Bir $BCF$ üçgeninin $B$ açısı diktir. $CF$ doğrusu üzerinde bir $A$ noktası $|FA| = |FB|$ olacak ve $F$ noktası $A$ ile $C$ arasında kalacak şekilde seçiliyor. $D$ noktası, $|DA| = |DC|$ olacak ve $\angle {DAB}$ nin açıortayı $AC$ olacak şekilde seçiliyor. $E$ noktası, $|EA| = |ED|$ olacak ve $\angle {EAC}$ nin açıortayı $AD$ olacak şekilde seçiliyor. $[CF]$ nin orta noktası $M$ olsun. $X$ noktası, $AMXE$ bir paralelkenar $( AM $ $\| $ $ EX$ ve $AE $ $ \| $ $ MX )$ olacak şekilde seçiliyor. $BD,$ $FX,$ ve $ME$ doğrularının noktadaş olduğunu gösteriniz.

[KereMath]

X,D,E doğrusaldır çünkü m(MAE)+m(AEX)=180⁰ m(ADC)=180⁰-2m(BAC)=180⁰-2m(ABF)=2(180⁰-m(ABC))  ve DA=DC bu da D'nin ABC üçgeninin çevrel merkezi olduğunu gösterir.Ve dahası m(BDC)=2m(BAC)=m(BFC),BCDF çemberseldir.
Açılardan m(FBD)=m(ACD)=m(ABF) sonra m(ABD)=2m(ABF)=2m(BAC)=2m(DAE)=180^0-m(AED) buradan BAED çemberseldir.
Buradan B,F,E doğrusal.Devam edelim m(AEF)=m(AEB)=m(ADB) bundan dolayı EF=EA
Ve paralelkenardan  EF=EA=XM  EXMF ikizkenar yamuk olup çemberseldir
m(AMB)=180⁰-2m(BFC)=m(ADB) bu da bize A,B,D,E,M in çembersel olduğunu verir m(AME)=m(ABE)=m(BAF)=m(BEM),Bu  EF=FM demektir
İncelersek XM=EA=EF=FM ve M BCDF nin merkezi iken X,B,C,D,F çemberseldir
Son olarak BD ile ME nin kesişimi K olsun.m(KMF)=m(KBF) olduğundan KMBF çembersel olup m(MFK)=m(MBK)=x⁰ olsun.Öte yandan MFEX in çemberselliğinden m(MEX)=m(MFX)=x⁰ olduğu için XF doğrusu K dan geçer.Yani XF EM BD noktadaştır

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Problemle ilgili birçok özellik olduğundan baştan hepsini listelemek istiyorum:

1) $FD\perp CD$.
2) $BCDFX$  beşgeni çemberseldir ve $M$  bu çemberin merkezidir.
3) $F$  noktası $ABD$  üçgeninin iç teğet çember merkezidir.
4) $BD$  doğrusu $\angle MBF$  nin iç açıortayıdır.
5) $CD=BD=DA$.
6) $B-F-E$  doğrusaldır.
7) $MBDEA$  beşgeni çemberseldir.
$XM=MF=FE=EA$.
9) $XMFE$  yamuğu ikizkenar ve dolayısıyla çemberseldir.
10) $BD$, $FX$  ve $ME$  noktadaşlığı.




$\angle FBA=\alpha$  olsun. $A$ noktası $BF$  doğru parçasını $CD$ 'ye yollayan spiral merkezdir. Dolayısıyla $\angle FDA=\dfrac{\pi}{2}-2\alpha$ ve $FD\perp CD$ olduğundan $BCDF$ çemberseldir. Yani $\angle DBF=\alpha$, $BD$ bisects $\angle MBF$ ve $F$ noktası $ABD$ üçgeninin iç merkezidir. Öte yandan, $\alpha=\angle MBD=\angle MAD$ olduğundan $MBDA$ çemberseldir. Daha da öte, $A$ noktası $BF$  doğru parçasını $DE$ 'ye yollayan spiral merkez olduğundan $\angle ABD=2\alpha=\angle AFE$ olur, $B-F-E$ doğrusallığı elde edilir ve $FE=EA$ olur. Ayrıca $\angle BEA=\angle BMA$ olduğundan $MBDEA$ çemberseldir. Ek olarak $XM=EA=FE$ olduğundan $XMFE$ yamuğu ikizkenar ve çemberseldir. $M$ noktası $(BCDF)$ çemberinin merkezi ve $MD=MF=FE=EA=XM$ olmasıyla $BCDFX$ çembersel elde edilir. $BD$, $FX$ ve $ME$ doğrularının noktadaşlığı ise $(BCDFX)$, $(XMFE)$ ve $(BMDEA)$ çemberlerinde kuvvet ekseni sonucunda barizdir.