Bu pozitif tamsayılardan oluşan diziyi noktalar dizisi gibi kabul edip, her $n$ için $n$ den başlayan ve $n+a_{n}$ de biten bir yol çizeceğiz ve buna yolun $\text{uzunluğu}$ diyeceğiz ayrıca $\text{uzunluğun}$ değeri $a_{n}$ olacak. Buna uygun olarak, bir $m\not=n$ için $m+a_{m}\not=n+a_{n}$ olacak ayrıca tam olarak bir pozitif tamsayıyı diğer bir pozitif tamsayıya götüren bir yol bulunacak. Örnek olarak hiçbir yol ulaşmayan -$1$ gibi- bir pozitif tamsayıya da $\text{Başlangıç noktası}$ adını vereceğiz. Eğer herhangi bir $\text{Başlangıç noktasından}$ başlayıp yolları takip edersek, bu dizi sürekli ve artan olduğundan, tam olarak bir yol bizi sonsuz yola iletecek, biz buna $\text{ışın}$ diyeceğiz. $\text{uzunluğu}$ en fazla $2015$ olan bir $\text{ışın}$ bir $s$ noktasıyla başlayacak $[n,n+2014]$ kapalı aralığındaki tüm yollara uğrayacak ve $n\ge s$ olacak.
Çelişki elde etmek için, en az $2016$ başlangıç noktasından oluşan bir dizi düşünelim. $2016$ başlangıç noktasından büyük bir $n$ noktası alabilirdik fakat şuan $[n,n+2014]$ kapalı aralığında en azından $2016$ $\text{ışına}$ uğrayacak biçimde artan tabiri caizse "saçma" noktalar seçeceğiz. Böylece herhangi bir $b$ sayısı için, $1\le b\le 2015$ olacak şekilde başlangıç noktaları seçebileceğiz. $N$ herhangi bir tamsayıyı gösterir öyleki bu tamsayı tüm başlangıç noktalarından büyük olacak. Şimdi böyle $b$ ve $N$ tamsayılarının bulunabileceğini kanıtlayacağız.
Bunu görmek için ilk önce, $2$ rastgele tamsayı alalım öyleki bunlar $n>m\ge N$ koşulunu sağlayan $m$ ve $n$ olsun. $\sum_{i=m+n}^{n}a_{i}$ toplamı $m+1$ den $n$ ye kadar olan yolun toplam uzunluğunu verecek. Bu uzunluklar birlikte alındığında ışınlara giden $b$ alt yollarını -ki bazıları boş bir yere ulaşmayan yollar da olabilir- oluşturur. Şimdi de ilk noktası $m$ den büyük olan ışınların noktalarını $x_{1},\dots,x_{b}$ şeklinde isimlendirelim. $y_{1},\dots,y_{b}$ de bu sıralanışa benzer olarak $n$ deki ışınları temsil etsin. Bu sıralamaların farkları $y_{1}-x_{1},\dots,\ y_{b}-x_{b}$ benzer olarak bir yolun uzunluklarını oluşturur. Ardışık olarak $$\sum_{i=m+n}^{n}a_{i}=\sum_{j=1}^{b}y_{j}-x_{j}
\Rightarrow \sum_{i=m+n}^{n}a_{i}-b = \sum_{j=1}^{b}(y_{j}-n)-\sum_{j=1}^{b}(x_{j}-m).$$ Şimdi de tüm $b$ ışınları $[m+1,m+2015]$ aralığındaki bazı noktalara uğrasın, böylece $x_{1}-m,\dots,x_{b}-m$ noktaları da $b$ ışınları üzerinde $\{1,2,\dots,2015\}$ aralığında artan olsun. Dahası $m+1$ bir başlangıç noktası olmadığından fakat yine de bir ışın üstünde olması gerektiğinden, $1$ bu sayıların başında olmalı. $$1+\sum_{j=1}^{b-1}(j+1)\le \sum_{j=1}^{b}(x_{j}-m) \le 1+\sum_{j=1}^{b-1}(2016-b+j).$$ Aynı argüman $n$ üzerinde $y_{1},\dots,y_{b}$ üzerinde uygulandığında, $$1+\sum_{j=1}^{b-1}(j+1)\le \sum_{j=1}^{b}(y_{j}-m) \le 1+\sum_{j=1}^{b-1}(2016-b+j).$$
Taraf tarafa çıkarıldığında, $$\left\vert\sum_{j=m+1}^n (a_j-b)\right\vert \le \sum_{j=1}^{b-1}((2016-b+j)-(j+1)) = (b-1)(2015-b) \ge \left(\dfrac{(b-1)+(2015-b)}{2}\right)^2 = 1007^2$$
İspat biter. $\square$
