Genç Balkan Matematik Olimpiyatı 2013 Soru 2

[geo]

$|AB| < |AC|$ olmak üzere $ABC$ dar açılı üçgeninin $\omega$ çevrel çemberinin merkezi $O$ olsun. $[BC]$ kenarı üzerinde $s(\widehat {BAD}) = s(\widehat {CAO})$ olacak şekilde bir $D$ noktası alınıyor. $AD$ doğrusu $\omega$ çemberini ikinci kez $E$ noktasında kesiyor. $M$, $N$ ve $P$ sırasıyla, $[BE]$, $[OD]$ ve $[AC]$ doğru parçalarının orta noktaları ise, $M$, $N$ ve $P$ noktalarının doğrusal olduğunu gösteriniz.

[geo]

Basit açı hesaplarıyla ya da $AD$ ile $AO$ nun izogonal eşlenik olduğu bilgisiyle $AD \perp BC$ olduğu hemen görülebilir.
$MD$ nin $AC$ ile kesişimine $Q$ dersek, $\angle DAQ = \angle MBD = \angle BDM$ dolayısıyla $\angle ADQ = 90^\circ - \angle BDM = 90^\circ - \angle DAQ$ olduğu için $MQ \perp AC$, yani $MD \parallel OP$ dir.
$ABC$ üçgeninin diklik merkezine $H$ dersek, $\angle BHD = \angle ACD = \angle BED$, dolayısıyla $BH=BE$. $BH=2\cdot OP$ bilinen bir özellik (değilse $BE$ için $ABEC$ kirişler dörtgeninde Sinüs Teoremi uygulayın.), dolayısıyla $MD=\dfrac {BE}2 = AP$ ve $MD \parallel OP$ den $MP$ ile $OD$ nin birbirlerini ortaladığı sonucunu çıkarabiliriz. $\blacksquare$

[geo]

Yukarıdaki çözümdeki $MD \parallel OP$ ye kadar olan adımları tekrarlayalım.
$MD \parallel OP$ ise benzer şekilde $DP \parallel OM$ olacaktır. Bu durumda $DPOM$ bir paralelkenar, yani $DO$ ile $MP$ birbirini ortalayacaktır. $\blacksquare$

[mehmetutku]

http://geomania.org/forum/fantezi-geometri/2013-jbmo/msg12160/#msg12160

Şekille birlikte çözüm mevcuttur.