Geo hocamın alttaki gönderide yazdıklarına göre çözümün en son kısmını düzenledim.
(AOPS de verilen çözümü biraz daha detaylı inceleyerek yazdım çünkü markoff benzeri bazı denklemlerde ilk çözüm $(1,1,1)$ olmayabiliyordu.). Bize verilen denklemi inceleyelim. Öncelikle bize verilen denklem ($m,n>0$ not alalım.)
$m^2-mn-n^2=±1$ $(m,n)=1$ olması gerektiği denklemden açıktır.
Öncelikle denklemleri sağlayan kritik indirgeme fikirlerini görelim.
$(m,n)$ çözüm ise $(n-m,m)$ de çözümdür. İspatlayalım. $(n-m)^2-(n-m).m-m^2=-(m^2-mn-n^2)=∓ 1$ olur
$m=n$ ise denklemi öncelikle çözelim. $m^2-m^2-m^2=±1$ yani $m=1$ gelir. $(1,1)$ çözümdür. Şimdi ise $m_0$ ve $n_0$ gibi bir çözümden başlayarak yukarıdaki vieta jumping fikriyle inmeye çalışalım. her adımda $m_0$ , $n_0$ terimlerini de $m_i<n_i$ şeklinde yeniden sıralayalım (eşitlik sadece $(1,1)$ olduğundan sadece son adımken oluşabilir.). En son indiğimiz sayı da $2\leq m'\leq n'$ olsun. O halde $(n'-m',m')$ işlemi uygulandığında yine çözüm olur. Çünkü $n'-m'>0$ olmaya devam ediyor ve eşitlik durumu da sadece $(1,1)$ için sağlanıyordu. O halde $m'=1$ olarak sonlanmak zorundadır. Bu da bize vieta jumping benzeri indirgememizin daima $(1,n)$ ile sonlanması gerektiğini söyler. Denklemi $m=1$ için çözelim:
$1-n-n^2=1$ veya $1-n-n^2=-1$ Buradan $n=1$ veya $n=2$ elde ederiz. Bu da bize descent'in sonlandığı adımların $(1,1)$ ve $(1,2)$ olduğunu ve buradan $(2,3) -> (3,5) -> (5,8) ....$ veya $(1,1),(2,1)-> (3,2) -> (5,3) -> (8,5) ... $ şeklinde gittiğini söyler. Dolayısıyla denklemin bir çözümü $(F_k,F_{k+1})$ diğer çözümü de $(F_{k+1},F_{k})$ olur. Ve bu descent yöntemimiz başka bir değere indirgenemediği için bu denklemin tek çözüm kümesinin fibonacci'den oluştuğunu görüyoruz.
Yani $m^3+n^3$ toplamının max değerini hesaplamak için bize verilen aralıkta bulunan en büyük $2$ fibonacci sayısını seçmeliyiz. Fibonacci sayılarını türetelim. ($F_1$ den başlayarak yazdım.)
$1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597$ Eğer soru $m^2+n^2$ olduğundan cevap $987^2+1597^2=3524578$ istenen oluyor. ve $987=F_{16}$ olduğu için $F_{16}^2+F_{17}^2=F_{33}$ olacağından dolayı $F_{33}$ e kadar yazmak daha kolay hesaplama sağlayabilir.
Not: Bu denklemin çözüm kümesinin Fibonacci olmasının bir sonucu olarak $2$ denklemimizin diskriminantlarını alırsak $5m^2-4$ ve $5m^2+4$ ün tam kare olması gerektiğini görürüz. Bu diskriminant elde edilirkenki cebirsel geçişler çift yönlü olduğu için ''$5m^2-4$ ve $5m^2+4$ tam karedir ancak ve ancak $m$ fibonacci sayısıdır.'' lemmasını ispatlamış oluruz. Bu lemma'yı ispatlamak için $x^2+y^2=5z^2$ formunda pisagor parametrizasyonu ile $x^2+5y^2=z^2$ formundaki pisagor parametrizasyonları ile eşleme de kullanılabilir. çünkü bu eşlemeler bizi $|m^2-mn-n^2|=1$ denklemine götürecektir.
