Uluslararası Matematik Olimpiyatı 1978 Soru 5

[ERhan ERdoğan]

$\{a_k\}$ $(k=1,2,3\dots,n,\dots)$, farklı pozitif tam sayılardan oluşan bir dizi olsun. Her $n$ doğal sayısı için, $$\sum\limits_{k=1}^n\dfrac{a_k}{k^2} \geq \sum\limits_{k=1}^n \dfrac{1}{k}$$ olduğunu gösteriniz.

[Lokman Gökçe]

$(a_,a_2,\dots, a_n)$ sonlu dizisinin terimleri birbirinden farklı pozitif tam sayılar olduğu için terimlerin küçükten büyüğe doğru sıralanışı $b_1< b_2< \cdots < b_n $ olsun. Dolayısıyla her $k=1,2,\dots,n$ için $b_k\geq k$ olur. $b_1< b_2< \cdots < b_n$ ve $\dfrac{1}{1^2}>\dfrac{1}{2^2}>\cdots >\dfrac{1}{n^2}$ dizileri için Yeniden düzenleme eşitsizliğini uygularsak

$$ \sum_{k=1}^n (a_k\cdot \dfrac{1}{k^2}) \geq \sum_{k=1}^n(b_k\cdot \dfrac{1}{k^2}) \tag{1}$$

olur. Ayrıca $b_k\geq k$ olduğundan

$$ \sum_{k=1}^n (b_k\cdot \dfrac{1}{k^2}) \geq \sum_{k=1}^n (k \cdot \dfrac{1}{k^2}) = \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k} \tag{2} $$

olur. Böylece $(1)$ ve $(2)$ den, $ \displaystyle{\sum_{k=1}^n \dfrac{a_k}{k^2} \geq \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k}} $ sonucuna ulaşırız.