Uluslararası Matematik Olimpiyatı 1963 Soru 5

[ERhan ERdoğan]

$\cos{\dfrac{\pi}{7}} - \cos{\dfrac{2\pi}{7}}+\cos{\dfrac{3\pi}{7}}=\dfrac{1}{2}$ olduğunu gösteriniz.

[geo]

Eşitliği $2\sin \dfrac \pi 7$ ile genişletelim.

$$2\sin \dfrac \pi 7 \cos \dfrac \pi 7 - 2\sin \dfrac \pi 7 \cos \dfrac {2\pi}7 + 2\sin \dfrac \pi 7 \cos  \dfrac {3\pi}7 \stackrel{?}{=} \sin \dfrac \pi 7 \tag {1}$$
$$\sin \dfrac {2\pi} 7 - (\sin \dfrac {3\pi} 7 - \sin \dfrac {\pi} 7) + (\sin \dfrac {4\pi} 7 - \sin \dfrac {2\pi} 7) \stackrel{?}{=} \sin \dfrac \pi 7 \tag {2}$$
$\sin \dfrac {3\pi} 7 = \sin \dfrac {4\pi} 7$ olduğu için $ \sin \dfrac {\pi} 7 \stackrel{?}{=} \sin \dfrac {\pi} 7$ elde ederiz.

[geo]

$x^7 = 1$ denkleminin çözümleri $z_k = \cos \dfrac {2\pi k} 7 + i \sin \dfrac {2\pi k} 7$ $(k=0,1,2,3,4,5,6)$ dır.
Kökler toplamı $0$ olduğu için köklerin reel kısımları toplamı da $0$ olacaktır. Bu durumda $$1 + \cos \dfrac {2\pi} 7 + \cos \dfrac {4\pi} 7 + \cos \dfrac {6\pi} 7 + \cos \dfrac {8\pi} 7 + \cos \dfrac {10\pi} 7 + \cos \dfrac {12\pi} 7 = 0$$ elde edilir. $\cos \alpha = \cos (2\pi -\alpha)$ ve $\cos \alpha = - \cos (\pi -\alpha)$ olduğu için $$1+2\left (\cos \dfrac {2\pi} 7 + \cos \dfrac {4\pi} 7 + \cos \dfrac {6\pi} 7 \right) = 1 + 2\left (\cos \dfrac {2\pi} 7 + - \cos \dfrac {3\pi} 7 - \cos \dfrac {\pi} 7 \right) = 0$$ elde edilir. Biraz düzenlemeyle $$2\left (\cos \dfrac {\pi} 7  - \cos \dfrac {2\pi} 7 + \cos \dfrac {3\pi} 7 \right) = 1 $$ elde ederiz.

[alpercay]

$7x=2k\pi$ dersek $\cos4x=\cos3x$ $$2\cos^22x-1=4\cos^3x-3\cos x$$ $$2(2\cos^2x-1)^2-1=4\cos^3x+3\cos x$$ $$8\cos^4x-4\cos^3x-8\cos^2x+3 \cos x+1=0$$ Denklemin katsayılar toplamı $0$ olduğundan köklerden biri $1$ olmalı. Buna göre,   $$(\cos x-1)(8\cos^3x+4\cos^2x-4\cos x-1)=0$$ $\cos x-1\ne0$ olduğundan $$8\cos^3x+4\cos^2x-4\cos x-1=0$$ Bu denklemin kökleri $\cos2\pi/7,\cos4\pi/7$ ve $\cos6\pi/7$ olup kökler  toplamından $$\cos2\pi/7+\cos4\pi/7+\cos6\pi/7=-1/2$$  $$\cos\pi/7+\cos3\pi/7+\cos5\pi/7=1/2$$ bulunur.

$\cos5\pi/7=-\cos2\pi/7$ olduğundan $$\cos\pi/7+\cos3\pi/7-\cos2\pi/7=1/2$$ olarak da yazılabilir

[alpercay]

Önce şu eşitliği kanıtlayalım: Kanıt için buradaki bağlantıya da bakılabilir.

$$\begin{array}{lcl}
\cos \left(\frac{\pi}{7}\right) \cos \left(\frac{2 \pi}{7}\right) \cos \left(\frac{3 \pi}{7}\right) &=& \frac{4}{8 \sin \left(\frac{\pi}{7}\right)} \times 2 \sin \left(\frac{\pi}{7}\right) \cos \left(\frac{\pi}{7}\right) \cos \left(\frac{2 \pi}{7}\right) \cos \left(\frac{3 \pi}{7}\right) \\
& =& \frac{2}{8 \sin \left(\frac{\pi}{7}\right)} \times 2 \sin \left(\frac{2 \pi}{7}\right) \cos \left(\frac{2 \pi}{7}\right) \cos \left(\frac{3 \pi}{7}\right) \\
& = & \frac{1}{8 \sin \left(\frac{\pi}{7}\right)} \times 2 \sin \left(\frac{4 \pi}{7}\right) \cos \left(\frac{3 \pi}{7}\right) \\
& =& \frac{1}{8 \sin \left(\frac{\pi}{7}\right)} \times 2 \sin \left(\pi-\frac{3 \pi}{7}\right) \cos \left(\frac{3 \pi}{7}\right) \\
& =& \frac{1}{8 \sin \left(\frac{\pi}{7}\right)} \times 2 \sin \left(\frac{3 \pi}{7}\right) \cos \left(\frac{3 \pi}{7}\right) \\
& =& \frac{1}{8 \sin \left(\frac{\pi}{7}\right)} \times \sin \left(\frac{6 \pi}{7}\right) \\
& =& \frac{1}{8 \sin \left(\frac{\pi}{7}\right)} \times \sin \left(\pi-\frac{6 \pi}{7}\right) \\
& =& \frac{1}{8 \sin \left(\frac{\pi}{7}\right)} \times \sin \left(\frac{\pi}{7}\right) \\
& =& \frac{1}{8}
\end{array}
$$

Şimdi $\cos\pi/7\cdot\cos2\pi/7\cdot\cos3\pi/7=1/8$ eşitliğini kullanalım:

$$
\begin{array}{lcl}
(\cos2\pi/7+\cos4\pi/7)+\cos6\pi/7 &=& (2\cos3\pi/7\cdot\cos\pi/7)+2\cos^23\pi/7-1\\
&=& 2\ (\cos(3\pi/7))(\cos\pi/7+\cos3\pi/7)-1\\
&=& 4\cos\pi/7\cdot\cos2\pi/7\cdot\cos3\pi/7-1\\
&=& 4\cdot1/8-1 \\
&=& -1/2
\end{array}$$ Dolayısıyla $$\cos2\pi/7+\cos4\pi/7+\cos6\pi/7=-1/2$$ olduğundan $$\cos\pi/7+\cos3\pi/7+\cos5\pi/7=1/2$$ bulunur. (veya 1963 Umo sorusu olarak $\cos\pi/7+\cos3\pi/7-\cos2\pi/7=1/2$ )

[alpercay]

Barış Demir'e ait bir çözüm: