Uluslararası Matematik Olimpiyatı 1966 Soru 2

[geo]

Bir üçgenin kenarları $a,b,c$; bu kenarların karşılarındaki açılar da sırasıyla $\alpha, \beta, \gamma$ dır. $$a+b = \tan \frac \gamma 2 (a\tan \alpha + b\tan \beta)$$ ise, bu üçgenin ikizkenar olduğunu kanıtlayınız.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

$\tan \dfrac{\gamma}{2}=\tan \dfrac{\alpha+\beta}{2}$  olduğundan ifade

$$a+b=\dfrac{a.\dfrac{\sin\alpha}{\cos \alpha}+b.\dfrac{\sin \beta}{\cos \beta}}{\tan\left(\dfrac{\alpha+\beta}{2}\right)}$$
şekline dönüşür. Her iki taraf
 $\sin\left(\dfrac{\alpha+\beta}{2}\right).\cos\alpha.\cos\beta$  ile çarpılıp ifade düzenlendiğinde
$$\left(a+b\right).\sin\left(\dfrac{\alpha+\beta}{2}\right).\cos\alpha .\cos\beta=\left(a.\sin\alpha.\cos\beta+b.\sin\beta\cos\alpha\right).\cos\left(\dfrac{\alpha+\beta}{2}\right)$$
$$\Longleftrightarrow a.\cos\beta\left(\cos\alpha.\sin\left(\dfrac{\alpha+\beta}{2}\right)-\sin\alpha.\cos\left(\dfrac{\alpha+\beta}{2}\right)\right)$$
$$=b.\cos\alpha\left(\sin\beta.\cos\left(\dfrac{\alpha+\beta}{2}\right)-\sin\left(\dfrac{\alpha+\beta}{2}\right).\cos\beta\right)$$
Sinüs fark formülü kullanıldığında
$$a.\cos\beta.\sin\left(\dfrac{\beta-\alpha}{2}\right)=b.\cos\alpha.\sin\left(\dfrac{\beta-\alpha}{2}\right)\Longleftrightarrow \sin\left(\dfrac{\beta-\alpha}{2}\right)=0 \quad \text{veya} \quad a.\cos\beta=b.\cos\alpha$$
İlk durumdan $\alpha=\beta$ elde edilir. İkincisi için Sinüs Teoremi'nden
$$\dfrac{a}{b}=\dfrac{\sin\alpha}{\sin\beta}=\dfrac{\cos\alpha}{\cos\beta}\Longleftrightarrow \sin(\alpha-\beta)=0\Longleftrightarrow \alpha=\beta$$
bulunur ve üçgen ikizkenarlığı elde edilir.