$a,b,c$'ler, herhangi üçü farklı reel sayılar olsun. Şayet bu reellerden en az ikisi birbirine eşitse $M\geq 0$ elde ederiz fakat biz en büyük (iyi) değeri arıyoruz. Yani $a,b,c$, çözümün devamında birbirlerine eşit olmasın
$$\left |ab(a^2 - b^2 ) + bc(b^2 - c^2) + ca(c^2 - a^2)\right | =\left |\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)\left(a+b+c\right)\right |$$
$a-b=x,b-c=y,c-a=z,a+b+c=s$ olsun. Genelliği bozmadan $a>b>c$ olsun (ifade simetrik olduğundan bu kabul yapılabilir). Dolayısıyla $x$ ve $y$ pozitif reel sayılardır. Buna göre sağ taraf
$$M\left(a^2+b^2+c^2\right)^2=M\left(\dfrac{\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2+\left(a+b+c\right)^2}{3}\right)^2=\dfrac{M}{9}\left(x^2+y^2+z^2+s^2\right)^2$$
Bunu eşitsizlikte yerine koyduğumuzda
$$|xyzs|\leq \dfrac{M}{9}\left(x^2+y^2+z^2+s^2\right)^2$$
elde ederiz. Pariteleri aynı olan $x,y$ için $x+y$ sabit iken $x=y$ durumunu gösterirsek ispat biter çünkü $x=y$ iken sol taraftaki $xy$'yi maksimize ve sağ taraftaki $x^2+y^2=\left(x+y\right)^2-2xy$ minimize eder. Bundan ötürü $x=y$ olsun. Haliyle $z=-2x$ olacaktır
$$\left | xyzs\right |\leq \left | 2x^3s\right | \leq \dfrac{M}{9}\left(6x^2+s^2\right)^2 \leq \dfrac{M}{9}\left(x^2+y^2+z^2+s^2\right)^2$$
Yani
$$\dfrac{M}{9}\left(6x^2+s^2\right)^2=\dfrac{M}{9}\left(2x^2+2x^2+2x^2+s^2\right)^2\geq \dfrac{M}{9}\left(4\sqrt[4]{2^3x^6s^2}\right)^2=M.\dfrac{16\sqrt{2}}{9}2x^3s\geq 2x^3s=\left | 2x^3s\right |$$
Dolayısıyla $M\geq \dfrac{9}{16\sqrt{2}}$ elde edilir.
