Uluslararası Matematik Olimpiyatı 2012 Soru 2

[geo]

$n\geq 3$ bir tam sayı ve $a_2,a_3,\dots, a_n$ pozitif gerçel sayılar olmak üzere, $a_2a_3\dots a_n = 1$ olsun. $$(1+a_2)^2(1+a_3)^3\dots(1+a_n)^n > n^n$$ olduğunu gösteriniz.

[MATSEVER 27]

$$(a_k+1)=\left(a_k+\frac 1{k-1}+\cdots+\frac 1{k-1}\right)\geq k\sqrt[k]{\dfrac{a_k}{(k-1)^{k-1}}}$$
$$\Rightarrow (a_k+1)^k\geq \frac{k^k}{(k-1)^{k-1}}\cdot a_k$$
olduğunu $A.G.O$ dan biliyoruz. Bunu $k=2,3,\ldots,n$ için uygularsak;
$$\prod_{k=2}^n(a_k+1)^k\geq n^na_2a_3\cdots a_{n}=n^n$$
elde edilir. İspat biter. Eşitlik olması için $a_k=\frac 1{k-1}$ olması gerekir ancak bunun için $a_2.a_3\ldots a_n <1$ olur çelişki. Eşitlik durumu yoktur.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Aynı koşullar altında genelleştirmeksizin sorudan bir çıkarım yapalım. Benzer sorularda parantez içinde farklı bir sayı görülürse eğer bu eşitsizlik uygulanabilir.

$a_{2},a_{3},\cdots,a_{n}$ pozitif reeller ($n\geq 3$) olmak üzere $a_{2}a_{3}\cdots a_{n}=1$ ve $\lambda ^{n-1}>(n-1)!$ ise


$$\prod_{j=2}^{n}{\left(a_{j}+\lambda\right)^{j}}\leq n^n.\lambda$$


olduğunu gösteriniz.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Verilen ifade aslında
$$\sqrt[2]{\lambda ^{n(n-1)-2}}\left(\prod_{j=2}^{n}{\left(\dfrac{a_{j}}{\lambda}+1\right)^{j}}\right)$$
olduğundan parantez içi için Matsever'in paylaştığı çözümde sonda $a_{2}a_{3}\cdots a_{n}$ yerine $\dfrac{a_{2}a_{3}\cdots a_{n}}{\lambda ^{n-1}}$ olacaktır. Bundan dolayı
$$\sqrt[2]{\lambda ^{n(n-1)-2}}\left(\prod_{j=2}^{n}{\left(\dfrac{a_{j}}{\lambda}+1\right)^{j}}\right)>\sqrt[2]{\lambda ^{n(n-1)-2}}.\dfrac{n^n}{\lambda ^{n-1}}=n^n.\sqrt{\lambda ^{n(n-1)}}$$

olur.
Eşitlik sağlansaydı ise $a_{k}=\dfrac{\lambda}{k-1}$ olmalıydı ki bu sefer de
$$a_{2}a_{3}\cdots a_{n}=\dfrac{\lambda ^{n}}{(n-1)!}$$
olmalıydı ki bunun sağlanmadığı soruda verilmiş.