Uluslararası Matematik Olimpiyatı 2013 Soru 4

[geo]

Diklik merkezi $H$ olan bir dar açılı $ABC$ üçgeninde $W$, $BC$ kenarı üzerinde $B$ ve $C$ den farklı bir nokta olsun. $M$ ve $N$ noktaları, sırasıyla $B$ ve $C$ ye ait yükseklik ayağı olsun. $BWN$ nin çevrel çemberi $w_1$ olmak üzere; $w_1$ üzerinde bir $X$ noktası, $[WX]$ doğru parçası $w_1$ in bir çapı olacak şekilde seçiliyor. Benzer biçimde $CWM$ nin çevrel çemeri $w_2$ olmak üzere; $w_2$ üzerinde bir $Y$ noktası, $[WY]$ doğru parçası $w_2$ nin bir çapı olacak şekilde seçiliyor. $X$, $Y$ ve $H$ noktalarının doğrusal olduğunu gösteriniz.

[berkkant]

Çözüm (Berkant Koç): $\omega_1$ ile $\omega_2$ çemberleri ikinci kez $J$' de kesişsinler. $\angle XJW =\angle YJW= 90^\circ$ olduğundan $X,J,Y$ doğrusaldır. Miquel teoreminden $ANJM$ çemberseldir.  Böylece $A,M,J,H,N$ çemberseldir.  Bu sebepten $\angle NJH = \angle NAH = 90^\circ - \angle B = \angle XBN =  \angle NJX$ olur.  Böylece $J,H,X,Y$ doğrusal olur.

[ERhan ERdoğan]

Verilen bilgiler ile $\angle{BNC}=\angle{CMB}=\angle{XBC}=\angle{YCB}=90^\circ$ görülebilir. $w_{1}$ ile $w_{2}$ çemberlerinin ikinci defa kesiştikleri noktaya $S$ diyelim. $\angle{XSW}=\angle{YSW}=90^\circ$ olduğundan $X-S-Y$ doğrusal noktalardır.
$\angle{HAB}=\angle{NCB}=\angle{NBX}=\angle{NSX}= \alpha$ olduğundan $X-H-S$ noktaları  ve $\angle{HAC}=\angle{MBC}=\angle{MCY}=\angle{MSY}=\beta$  olduğundan da $Y-S-H$ noktaları doğrusaldır.
Buna göre; $X-H-S-Y$ noktaları aynı doğru üzerindedir.

[Lokman Gökçe]

Çözüm [Lokman Gökçe]:

$\omega_1$ ve $\omega_2$ çemberlerinin kesişimi $K$ noktası olsun. $A$ noktası $\omega_1$, $\omega_2$  ve $BCMN$ kirişler dörtgeninin çevrel çemberlerine göre eşit kuvvette olduğundan bu çemberlerin kuvvet merkezidir. Dolayısıyla $A, K, W$ doğrusal olur.

$\omega_1$'de $\angle XKW = 90^\circ$, $\omega_2$'de $\angle YKW = 90^\circ$ olduğundan $X, K, Y$ doğrusal olur.

$ANHM$ kirişler dörtgeni olduğundan $\angle HMN = \angle HAN = \angle ABX = \angle XKN$ ve $\angle HNM = \angle HAM = \angle ACY = \angle YKM$ eşitlikleri yazılır. Böylece
$$\angle MHN = \angle MKN $$
eşitliğine ulaşırız. Bu ise $A, N, K, H, M$ noktalarının çembersel olması demektir. $\angle AKH = \angle ANH = 90^\circ$ ve $\angle AKY = 90^\circ$ olduğundan $K, H, Y$ doğrusal olur.

Sonuç olarak $X, K, H, Y$ doğrusal olur.