Atakan'ın yaptığı şekilde aralığa sokmaya çalışalım fakat farklı olarak $$(n^2+n)^2<n^4+2n^3+4n^2+4n-62<(n^2+n+2)^2$$ eşitsizliğini elde etmeye çalışalım. Bu eşitsizlik sağlanırsa $n^4+2n^3+4n^2+4n-62=(n^2+n+1)^2$ olmak zorunda olacaktır. Yukarıdaki çözümlerde eşitsizliğin sağ tarafının her zaman sağlandığı gösterilmiştir. Sol tarafına bakarsak, $$(n^2+n)^2<n^4+2n^3+4n^2+4n-62\Longleftrightarrow 3n^2+4n-62>0$$ Dolayısıyla istediğimiz eşitsizlik sadece $3n^2+4n-62\leq 0$ iken sağlanılmaz. Bu ikinci dereceden polinomun kökleri $x_1<x_2$ ise $[x_1,x_2]$ aralığı bu polinomu $0$ veya negatif yapar. $n=-6$ ve $n=4$ için ifade pozitiftir fakat $n=-5$ ve $n=3$ için negatiftir o yüzden $n\notin \{-5,-4,\dots, 2,3\}$ için en başta düşündüğümüz eşitsizlik sağlanır ve $n^4+2n^3+4n^2+4n-62=(n^2+n+1)^2$ olur. Buradan $n^2+2n-63=(n+9)(n-7)=0$ bulunur ve $n=-9$, $n=7$ çözümleri bulunur.
Geriye $\{-5,-4,\dots, 2,3\}$ aralığını denemek kalır. Eğer $n$ çiftse $n^4+2n^3+4n^2+4n-62\equiv 2\pmod{4}$ olacağından tamkare olamaz. $n$ tek sayısı için $n^2\equiv 1\pmod{8}$ ve $4n^2+4n\equiv 0\pmod{8}$ olacağından $$n^4+2n^3+4n^2+4n-62\equiv n^2+2n+2\equiv (n+1)^2+1\pmod{8}$$ Eğer ifade tamkareyse $8$ modunda $1$ kalanı vermelidir (tek sayı olacağı barizdir). O yüzden $(n+1)^2\equiv 0\pmod{8}$ olmalı. Yani $n+1\equiv 0\pmod{4}$ olmalıdır. Buradan incelememiz gereken değerler $\{-5,-1,3\}$ kalır. Bunları incelersek $n=3$ için tamkare olur. Toplam $-9+7+3=\boxed{1}$'dir.