$2.$ soru:
$a^2+1 = (a+b)(a+c)$ olduğu farkedilirse, $(a+b)^2(a+c)^2(b+c)^2 = 3^x-5^y$ elde edilir. $(a+b)^2(a+c)^2(b+c)^2 = n^2$ denirse $3^x-5^y = n^2$ denklemi elde edilir, açıktır ki $n$ çifttir, $(-1)^x - 1 = 0 \pmod 4$ den $x=2k$ olması gerektiği görülür.
Denklem düzenlenirse, $(3^k-n)(3^k+n) = 5^y$, $3^k-n = 5^t$ ve $3^k+n=5^l$ elde edilir, taraf tarafa toplanırsa $3^k = \dfrac{5^t+5^l}{2}$ elde edilir son elde edilen denklemde sağ taraf her zaman $5$'e bölüneceğinden $l = 0$ olmalıdır. $2 \cdot 3^k = 5^t+1$ denkleminde $k > 1$ için $5^t+1 \equiv 0 \pmod 9$ denkliğinden $t = 6m+3$ olması gerektiği görülür fakat $5^{6m+3} + 1 \equiv 0 \pmod 7$ olduğundan ve denklemin sol tarafı $7$'ye bölünmediğinden çelişki, $k=1$ olmalıdır, devamında $a=1$ bulunur ve $n^2 = 4$ elde edilir.
Durum 1: $(a+b)(a+c)(b+c) = 2$, simetri ve $ab+bc+ac = 1$ göze alınarak durum incelenirse tüm çözümlerin $(a,b,c) = (1,1,0)$ ve permütasyonları olduğu görülür, 3 çözüm vardır.
Durum 2: $(a+b)(a+c)(b+c) = -2$, $a = -a'$, $b = -b'$, $c=-c'$ değiştirmeleri yapılırsa $(a'+b')(a'+c')(b'+c') = 2$ elde edilir, bu $1.$ durumdur, çözümleri $(a',b',c') = (1,1,0)$ ve permütasyonlarıdır, değiştirmeler geri alınırsa $(a,b,c) = (-1,-1,0)$ elde edilir 3 çözüm vardır.
Toplam $6$ çözüm vardır, cevap E şıkkı.
