$d\equiv 15\pmod {20}$ olan bir $d$ değeri için sağlayacağını gösterelim. Burada $d$, $5$'in bir katıdır ve $d\equiv 3\pmod 4$ olduğundan en az $1$ tane $4k+3$ formatında asal böleni vardır ve tam kare değildir. $\lfloor n\sqrt{d}\rfloor =m$ olsun.($\lfloor x\rfloor$ tamdeğer fonksiyonudur.) $$n\sqrt{d}\left \{n\sqrt{d}\right \}=n\sqrt{d}\left ( n\sqrt{d}-m\right )=\left (n\sqrt{d}\right )\dfrac{n^2d-m^2}{n\sqrt{d}+m}>\left (n\sqrt{d}\right )\dfrac{n^2d-m^2}{2n\sqrt{d}}=\dfrac{n^2d-m^2}{2}$$ olur. $n^2d>m^2$ olduğunu biliyoruz. Şimdi şu durumları inceleyelim,
i) $n^2d=m^2+1$ ise $d$'yi bölen $4k+3$ formatında bir $p$ asal sayısı olduğunu biliyoruz, $p$ için $m^2\equiv -1\pmod p$ olur. Çelişki
ii) $n^2d=m^2+2$ ise $d$, $5$'e bölündüğünden $m^2\equiv 3\pmod 5$ olur. Çelişki
ii) $n^2d=m^2+3$ ise $d$, $5$'e bölündüğünden $m^2\equiv 2\pmod 5$ olur. Çelişki
iv) $n^2d=m^2+4$ ise $p$ için $\left (\dfrac{m}{2}\right )^2\equiv -1\pmod p$ olur. Çelişki
dolayısıyla $n^2d\geq m^2+5$ olur. Buradan $$n\sqrt{d}\left \{n\sqrt{d}\right \}>\dfrac{n^2d-m^2}{2}\geq \dfrac{5}{2}$$ $$n\sqrt{d}\left \{n\sqrt{d}\right \}>\dfrac{5}{2}$$ bulunur. Dolayısıyla ardışık $20$ sayıdan $d\equiv 15\pmod {20}$ olanı eşitsizliği sağlar.
